Luas minimum segitiga yang dibentuk oleh garis lurus yang

Luas minimum segitiga tersebut adalah 24.

Pembahasan

Untuk mencari luas minimum segitiga yang dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik (4, 3) dengan sumbu-sumbu koordinat, kita perlu menentukan persamaan garis tersebut. Misalkan persamaan garisnya adalah \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\), di mana \(a\) adalah perpotongan dengan sumbu-x dan \(b\) adalah perpotongan dengan sumbu-y.

Karena garis melalui titik (4, 3), maka \(\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1\).
Luas segitiga yang dibentuk dengan sumbu-sumbu koordinat adalah \(L = \frac{1}{2} |a 	imes b|\).
Kita ingin meminimalkan \(L\), yang setara dengan meminimalkan \(|ab|\).

Dari persamaan garis, kita dapat mengekspresikan \(b\) dalam bentuk \(a\) atau sebaliknya.
\(\frac{3}{b} = 1 - \frac{4}{a} = \frac{a-4}{a}\)
\(b = \frac{3a}{a-4}\)

Maka, \(ab = a \times \frac{3a}{a-4} = \frac{3a^2}{a-4}\).
Kita perlu mencari nilai \(a\) yang meminimalkan \(|ab|\).

Untuk mencari nilai minimum, kita dapat menggunakan turunan.
Misalkan \(f(a) = ab = \frac{3a^2}{a-4}\).

\(f'(a) = \frac{(6a)(a-4) - (3a^2)(1)}{(a-4)^2} = \frac{6a^2 - 24a - 3a^2}{(a-4)^2} = \frac{3a^2 - 24a}{(a-4)^2}\)

Atur \(f'(a) = 0\) untuk mencari titik kritis:
\(3a^2 - 24a = 0\)
\(3a(a - 8) = 0\)

Maka, \(a = 0\) atau \(a = 8\).
Karena \(a\) adalah perpotongan sumbu-x, \(a \neq 0\).
Jadi, titik kritisnya adalah \(a = 8\).

Jika \(a = 8\), maka \(b = \frac{3(8)}{8-4} = \frac{24}{4} = 6\).

Luas segitiga adalah \(L = \frac{1}{2} |ab| = \frac{1}{2} |8 	imes 6| = \frac{1}{2} |48| = 24\).

Kita perlu memastikan ini adalah minimum. Kita bisa menggunakan uji turunan kedua atau menganalisis perilaku fungsi.
Untuk \(a < 4\), \(a-4 < 0\), sehingga \(ab = \frac{3a^2}{a-4} < 0\).
Untuk \(a > 4\), \(a-4 > 0\), sehingga \(ab = \frac{3a^2}{a-4} > 0\).
Di \(a=8\), \(f'(a)\) berubah dari negatif ke positif, menunjukkan minimum lokal.

Luas minimum segitiga yang dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik (4, 3) dengan sumbu-sumbu koordinat adalah 24.