Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam

Luas persegi panjang terbesar adalah $rac{32 ext{sqrt}}{2}}{3}$

Pembahasan

Untuk mencari luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi oleh kurva $x^2 = 6y$ dan $y = 4$, kita perlu mempertimbangkan simetri kurva terhadap sumbu y. Misalkan koordinat sudut kanan atas persegi panjang adalah $(x, y)$. Maka, lebar persegi panjang adalah $2x$ dan tingginya adalah $4 - y$. Luas $A$ dari persegi panjang tersebut adalah $A = 2x(4-y)$. Dari persamaan kurva, kita punya $x^2 = 6y$, sehingga $x = rac{	ext{sqrt}}{6y}$. Mengganti $x$ ke dalam persamaan luas, kita dapatkan $A = 2 rac{	ext{sqrt}}{6y} (4-y)$. Untuk mencari nilai maksimum $A$, kita dapat menurunkan $A^2$ terhadap $y$ (karena menurunkan $A^2$ akan memberikan titik kritis yang sama dengan menurunkan $A$ dan menghindari akar kuadrat). $A^2 = 4 rac{6y}{36} (4-y)^2 = rac{2y}{3} (16 - 8y + y^2)$. Turunan $A^2$ terhadap $y$ adalah $rac{2}{3} (16 - 8y + y^2 + y( -8 + 2y)) = rac{2}{3} (16 - 16y + 3y^2)$. Menyetarakan turunan dengan nol: $3y^2 - 16y + 16 = 0$. Faktor dari persamaan kuadrat ini adalah $(3y - 4)(y - 4) = 0$. Solusinya adalah $y = 4$ atau $y = rac{4}{3}$. Jika $y = 4$, maka $x = 	ext{sqrt}}{6 	imes 4} = 	ext{sqrt}}{24}$, dan luasnya adalah $2 	imes 	ext{sqrt}}{24} 	imes (4-4) = 0$. Jika $y = rac{4}{3}$, maka $x = 	ext{sqrt}}{6 	imes rac{4}{3}} = 	ext{sqrt}}{8}$. Luasnya adalah $A = 2 	imes 	ext{sqrt}}{8} 	imes (4 - rac{4}{3}) = 2 	imes 2	ext{sqrt}}{2} 	imes rac{8}{3} = rac{32	ext{sqrt}}{2}}{3}$. Oleh karena itu, luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat adalah $rac{32	ext{sqrt}}{2}}{3}$.