Lukis kurva: y = x^3 + 3x^2 - 9x

Kurva $y = x^3 + 3x^2 - 9x$ memiliki titik potong sumbu-x di sekitar (-4.82, 0), (0, 0), (1.82, 0); titik potong sumbu-y di (0, 0); maksimum lokal di (-3, 27); minimum lokal di (1, -5); dan titik belok di (-1, 11).

Pembahasan

Untuk melukis kurva $y = x^3 + 3x^2 - 9x$, kita perlu menganalisis beberapa karakteristik fungsi, termasuk titik potong sumbu, titik stasioner (maksimum/minimum), dan titik belok.

1.  **Titik Potong Sumbu-y:**
    Ketika $x=0$, maka $y = 0^3 + 3(0)^2 - 9(0) = 0$. Jadi, kurva memotong sumbu-y di (0, 0).

2.  **Titik Potong Sumbu-x:**
    Ketika $y=0$, maka $x^3 + 3x^2 - 9x = 0$.
    $x(x^2 + 3x - 9) = 0$
    Salah satu akarnya adalah $x=0$. Untuk akar lainnya, kita gunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ pada $x^2 + 3x - 9 = 0$:
    $x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)}$
    $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2}$
    $x = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2}$
    $x = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$
    Jadi, titik potong sumbu-x adalah di $(0, 0)$, $(\frac{-3 + 3\sqrt{5}}{2}, 0)$, dan $(\frac{-3 - 3\sqrt{5}}{2}, 0)$. Nilai perkiraan $\sqrt{5} \approx 2.236$, jadi titik potongnya adalah sekitar $(0, 0)$, $(1.82, 0)$, dan $(-4.82, 0)$.

3.  **Titik Stasioner (Maksimum/Minimum):**
    Kita cari turunan pertama $y'$:
    $y' = 3x^2 + 6x - 9$
    Untuk titik stasioner, $y'=0$:
    $3x^2 + 6x - 9 = 0$
    $x^2 + 2x - 3 = 0$
    $(x+3)(x-1) = 0$
    Jadi, $x=-3$ atau $x=1$.

    Sekarang kita cari nilai $y$ pada titik-titik $x$ ini:
    Jika $x=-3$: $y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) = -27 + 3(9) + 27 = -27 + 27 + 27 = 27$. Titik (-3, 27).
    Jika $x=1$: $y = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) = 1 + 3 - 9 = -5$. Titik (1, -5).

    Untuk menentukan jenis titik stasioner, kita gunakan turunan kedua $y''$:
    $y'' = 6x + 6$

    Jika $x=-3$: $y'' = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12$. Karena $y'' < 0$, maka titik (-3, 27) adalah titik maksimum lokal.
    Jika $x=1$: $y'' = 6(1) + 6 = 12$. Karena $y'' > 0$, maka titik (1, -5) adalah titik minimum lokal.

4.  **Titik Belok:**
    Untuk titik belok, $y''=0$:
    $6x + 6 = 0$
    $6x = -6$
    $x = -1$

    Cari nilai $y$ pada $x=-1$:
    $y = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 + 3(1) + 9 = -1 + 3 + 9 = 11$. Titik (-1, 11).

**Kesimpulan untuk Melukis Kurva:**
Kurva memotong sumbu-x di sekitar $(-4.82, 0)$, $(0, 0)$, dan $(1.82, 0)$.
Kurva memotong sumbu-y di $(0, 0)$.
Kurva memiliki titik maksimum lokal di $(-3, 27)$.
Kurva memiliki titik minimum lokal di $(1, -5)$.
Kurva memiliki titik belok di $(-1, 11)$.

Dengan informasi ini, kita bisa membuat sketsa kurva. Kurva naik hingga titik maksimum, turun hingga titik minimum, lalu naik lagi. Bentuknya adalah khas fungsi kubik dengan koefisien $x^3$ positif.