Diketahui vektor-vektor vektor u=bi+aj+9k dan vektor

Nilai b adalah 2√2.

Pembahasan

Diketahui vektor u = bi + aj + 9k dan vektor v = ai - bj + ak. Sudut antara vektor u dan v adalah θ dengan cos θ = 6/11. Proyeksi ortogonal vektor u pada vektor v adalah vektor p = 4i - 2j + 4k.

Rumus proyeksi ortogonal vektor u pada vektor v adalah:
p = ((u ⋅ v) / |v|²) * v

Kita tahu bahwa p = 4i - 2j + 4k. Dari sini, kita dapat melihat bahwa vektor p sejajar dengan vektor v, yang berarti p = c * v untuk suatu skalar c.
4i - 2j + 4k = c * (ai - bj + ak)

Dari komponen i, 4 = c * a
Dari komponen j, -2 = c * (-b) => 2 = c * b
Dari komponen k, 4 = c * a

Kita juga tahu bahwa cos θ = (u ⋅ v) / (|u| |v|).
Namun, kita punya informasi p = ((u ⋅ v) / |v|²) * v. Jadi, p/v = (u ⋅ v) / |v|².

Dari p = c * v, maka c = p/v. Kita bisa melihat rasio komponen:
Untuk komponen i: c = 4/a
Untuk komponen j: c = -2/-b = 2/b
Untuk komponen k: c = 4/a

Karena c sama untuk semua komponen, maka:
4/a = 2/b
4b = 2a
a = 2b

Sekarang kita gunakan informasi cos θ = 6/11.
Kita perlu menghitung u ⋅ v dan |v|².

u ⋅ v = (b)(a) + (a)(-b) + (9)(a) = ab - ab + 9a = 9a
|v|² = a² + (-b)² + a² = 2a² + b²

cos θ = (u ⋅ v) / (|u| |v|)
Karena p = ((u ⋅ v) / |v|²) * v, maka |p| = |(u ⋅ v) / |v|²| * |v| = |u ⋅ v| / |v|.

Mari kita gunakan informasi dari proyeksi ortogonal:
p = ((u ⋅ v) / |v|²) * v
4i - 2j + 4k = (9a / (2a² + b²)) * (ai - bj + ak)

Kita punya c = 4/a = 2/b.
Dari 2/b = 4/a, kita dapatkan a = 2b.

Substitusikan a = 2b ke dalam komponen proyeksi:
4 = (9(2b) / (2(2b)² + b²)) * (2b)
4 = (18b / (2(4b²) + b²)) * 2b
4 = (18b / (8b² + b²)) * 2b
4 = (18b / 9b²) * 2b
4 = (2 / b) * 2b
4 = 4

Ini hanya memverifikasi konsistensi. Sekarang kita gunakan cos θ = 6/11.
cos θ = (u ⋅ v) / (|u| |v|)
Kita juga tahu bahwa p = c * v, dimana c = (u ⋅ v) / |v|².
Jadi, u ⋅ v = c * |v|².

cos θ = (c * |v|²) / (|u| |v|) = c * |v| / |u|

Kita tahu c = 2/b.
|v| = sqrt(2a² + b²) = sqrt(2(2b)² + b²) = sqrt(2(4b²) + b²) = sqrt(8b² + b²) = sqrt(9b²) = 3|b|

|u|² = b² + a² + 9² = b² + (2b)² + 81 = b² + 4b² + 81 = 5b² + 81
|u| = sqrt(5b² + 81)

cos θ = (2/b) * (3|b|) / sqrt(5b² + 81)

Jika b > 0, maka |b| = b:
cos θ = (2/b) * (3b) / sqrt(5b² + 81)
cos θ = 6 / sqrt(5b² + 81)

Kita diberikan cos θ = 6/11.
6 / sqrt(5b² + 81) = 6/11
sqrt(5b² + 81) = 11
5b² + 81 = 11²
5b² + 81 = 121
5b² = 121 - 81
5b² = 40
b² = 8
b = sqrt(8) = 2*sqrt(2)

Jika b < 0, maka |b| = -b:
cos θ = (2/b) * (3(-b)) / sqrt(5b² + 81)
cos θ = -6 / sqrt(5b² + 81)

-6 / sqrt(5b² + 81) = 6/11
-66 = 6 * sqrt(5b² + 81)
-11 = sqrt(5b² + 81)
Ini tidak mungkin karena akar kuadrat tidak bisa bernilai negatif.

Jadi, nilai b = 2√2.