Memperkirakan Tinggi Bukit Dua mahasisiwa Teknik Sipil

Tinggi bukit diperkirakan adalah 927 meter.

Pembahasan

Untuk memperkirakan tinggi bukit, kita dapat menggunakan konsep kesebangunan segitiga.

Diketahui:
- Tinggi alat laser (tongkat penyangga) = 3 m
- Jarak pandang dari alat ke puncak bukit = 1.540 m (ini adalah sisi miring, bukan sisi datar)
- Jarak posisi Agung (yang menggunakan alat laser) ke Ali = 4 m
- Posisi Ali berjarak 4 m dari tongkat penyangga.

Karena Ali berbaring di tanah dan memandang ujung peralatan (setinggi 3 m) serta puncak bukit sebagai garis lurus, ini membentuk segitiga siku-siku yang sebangun dengan segitiga yang dibentuk oleh alat laser, tanah, dan garis pandang ke puncak bukit.

Mari kita definisikan:
- Tinggi bukit = H
- Tinggi alat laser = h = 3 m
- Jarak horizontal dari tongkat ke bukit = x
- Jarak horizontal dari Ali ke tongkat = 4 m

Dari informasi bahwa Ali berbaring di tanah memandang ujung peralatan (setinggi 3 m) dan puncak bukit sebagai garis lurus, dan posisinya 4 m dari tongkat, kita bisa membayangkan sebuah segitiga besar dan segitiga kecil yang sebangun.

Segitiga kecil dibentuk oleh:
- Sisi vertikal: tinggi alat laser = 3 m
- Sisi horizontal: jarak dari tongkat ke titik di bawah puncak bukit, yaitu 'x'.

Segitiga besar dibentuk oleh:
- Sisi vertikal: tinggi total bukit = H
- Sisi horizontal: jarak total dari tongkat ke bukit, yaitu 'x'.

Namun, informasi garis pandang 1.540 m adalah sisi miring. Kita perlu mencari sisi horizontal (x) terlebih dahulu jika ingin menggunakan kesebangunan yang melibatkan sisi miring tersebut.

Jika kita mengasumsikan gambar menunjukkan bahwa Ali berada di depan tongkat, dan mengamati dari posisi 4 m di belakang tongkat ke arah bukit, maka:

Perhatikan dua segitiga siku-siku yang sebangun:
1. Segitiga yang lebih kecil dibentuk oleh tinggi alat laser (3 m) sebagai sisi tegak, dan jarak horizontal dari tongkat ke bukit (misalkan 'd') sebagai sisi alas.
2. Segitiga yang lebih besar dibentuk oleh tinggi bukit (H) sebagai sisi tegak, dan jarak horizontal dari dasar bukit ke tongkat (yaitu 'd' juga, jika Ali melihat dari belakang tongkat) sebagai sisi alas.

Namun, deskripsi lebih lanjut tentang posisi Ali 'berbaring di tanah memandang ke arah ujung peralatan tersebut dan puncak bukit sehingga tampak sebagai garis lurus' dan 'Posisi mata Ali berjarak 4 m dari tongkat penyangga' menyiratkan bahwa Ali dan tongkat berada pada jarak tertentu dari bukit, dan garis pandang dari Ali ke puncak bukit melewati ujung atas tongkat.

Mari kita gunakan teorema Thales (kesebangunan segitiga):

Misalkan:
H = Tinggi bukit
h = Tinggi alat laser = 3 m
X = Jarak horizontal dari tongkat ke bukit
a = Jarak horizontal dari Ali ke tongkat = 4 m

Garis pandang dari Ali ke puncak bukit melewati ujung atas tongkat.
Ini membentuk dua segitiga siku-siku yang sebangun.

Perbandingan sisi tegak dengan sisi alas pada kedua segitiga adalah sama:

(Tinggi total dari tanah ke puncak bukit) / (Jarak horizontal dari tongkat ke bukit) = (Tinggi alat laser dari tanah) / (Jarak horizontal dari tongkat ke bukit)

Ini tidak membantu karena 'jarak horizontal dari tongkat ke bukit' muncul di kedua sisi.

Mari kita perjelas lagi interpretasi dari 'Ali berbaring di tanah memandang ke arah ujung peralatan tersebut dan puncak bukit sehingga tampak sebagai garis lurus. Posisi mata Ali berjarak 4 m dari tongkat penyangga.'

Ini berarti:
- Ali berada di satu titik.
- Tongkat penyangga berada 4 m di depannya (menuju bukit).
- Puncak bukit berada di depan tongkat.
- Garis lurus dari mata Ali ke puncak bukit melewati bagian atas tongkat.

Kita punya segitiga besar dan segitiga kecil.

Segitiga kecil:
- Sisi tegak = tinggi alat laser = 3 m
- Sisi alas = jarak dari tongkat ke bukit (sebut saja 'x')

Segitiga besar:
- Sisi tegak = tinggi bukit (H)
- Sisi alas = jarak dari Ali ke bukit = 4 m + x

Dari kesebangunan:
3 / x = H / (4 + x)
3(4 + x) = Hx
12 + 3x = Hx
H = (12 + 3x) / x
H = 12/x + 3

Sekarang kita perlu mencari 'x'. Kita tahu garis pandang dari alat ke puncak bukit adalah 1.540 m. Ini adalah sisi miring dari segitiga siku-siku yang dibentuk oleh:
- Tinggi = H - 3 (ketinggian puncak bukit di atas alat laser)
- Alas = x
- Sisi miring = 1.540 m

Menggunakan teorema Pythagoras:
x² + (H - 3)² = 1.540²

Kita punya dua persamaan dengan dua variabel (H dan x):
1. H = 12/x + 3
2. x² + (H - 3)² = 1.540²

Substitusikan (1) ke (2):
x² + ((12/x + 3) - 3)² = 1.540²
x² + (12/x)² = 1.540²
x² + 144/x² = 1.540²

Kalikan kedua sisi dengan x²:
x⁴ + 144 = 1.540² * x²
x⁴ - (1.540²)x² + 144 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk x². Misalkan y = x²:
y² - (1.540²)y + 144 = 0

Ini akan menghasilkan nilai x yang sangat rumit dan tampaknya ada informasi yang kurang atau salah interpretasi.

Mari kita coba interpretasi lain:
Agung mengamati puncak bukit melalui alat tersebut (tinggi 3m). Garis pandang ke puncak bukit adalah 1.540 m. Ini adalah sisi miring dari segitiga siku-siku yang alasnya adalah jarak horizontal dari tongkat ke bukit.

Ali berbaring di tanah memandang ke arah ujung peralatan (3m) dan puncak bukit sehingga tampak sebagai garis lurus. Posisi mata Ali berjarak 4 m dari tongkat penyangga.

Ini berarti Ali, ujung atas tongkat (3m), dan puncak bukit berada pada satu garis pandang.

Kita punya dua segitiga sebangun:
Segitiga 1 (lebih kecil):
- Tinggi = Tinggi alat laser - Tinggi mata Ali = 3 m - 0 m = 3 m (jika mata Ali di tanah)
- Alas = Jarak dari tongkat ke bukit (misal x)

Segitiga 2 (lebih besar):
- Tinggi = Tinggi bukit - Tinggi mata Ali = H - 0 m = H (jika mata Ali di tanah)
- Alas = Jarak dari Ali ke bukit = 4 m + x

Jika mata Ali di tanah, maka perbandingannya:
3 / x = H / (4 + x)
H = 3(4+x) / x = 12/x + 3

Sekarang, mari kita gunakan informasi garis pandang 1.540 m.
Jika garis pandang 1.540 m adalah dari alat (3 m) ke puncak bukit:
Sisi tegak = H - 3
Sisi alas = x
Sisi miring = 1.540 m

x² + (H - 3)² = 1.540²

Substitusi H = 12/x + 3:
x² + ( (12/x + 3) - 3 )² = 1.540²
x² + (12/x)² = 1.540²
x² + 144/x² = 1.540²

Ini kembali ke persamaan yang sama.

Mungkin ada kesalahan dalam memahami soal atau nilai yang diberikan tidak realistis.

Mari kita asumsikan interpretasi yang lebih umum untuk soal semacam ini:
Agung berdiri 4 m di belakang tongkat. Ali berada di belakang Agung.
Atau, Ali berada 4 m di depan tongkat.

Jika kita menganggap kesamaan posisi:
Agung berdiri di belakang tongkat, Ali berbaring di tanah 4m di belakang tongkat.

Ada kemungkinan garis pandang 1.540 m adalah jarak dari Ali ke puncak bukit, bukan dari alat laser.

Jika 1.540 m adalah garis pandang dari Ali ke puncak bukit, melewati ujung atas tongkat:

Segitiga kecil (dari tongkat ke puncak):
- Tinggi = H - 3
- Alas = x
- Sisi miring = ?

Segitiga besar (dari Ali ke puncak):
- Tinggi = H
- Alas = 4 + x
- Sisi miring = 1.540 m

Dari kesamaan segitiga:
(H - 3) / x = H / (4 + x)
(H - 3)(4 + x) = Hx
4H + Hx - 12 - 3x = Hx
4H - 12 - 3x = 0
4H = 12 + 3x
H = 3 + 3x/4

Sekarang gunakan sisi miring:
Dari segitiga besar, kita punya (4+x)² + H² = 1.540²
Substitusikan H = 3 + 3x/4:
(4+x)² + (3 + 3x/4)² = 1.540²
16 + 8x + x² + 9 + 2*(3)*(3x/4) + (3x/4)² = 1.540²
16 + 8x + x² + 9 + 9x/2 + 9x²/16 = 1.540²
25 + 8x + x² + 4.5x + 9x²/16 = 1.540²

Ini masih sangat rumit.

Mari kita coba interpretasi paling standar untuk soal 'memperkirakan tinggi bukit' dengan sudut pandang:

Agung mengamati puncak bukit melalui alat laser setinggi 3m. Ali berjarak 4m dari tongkat dan memandang puncak bukit melewati ujung atas tongkat.

Garis pandang 1.540 m adalah jarak dari Agung (pada alat laser) ke puncak bukit.

Kita memiliki dua segitiga siku-siku yang sebangun.

Segitiga kecil:
- Sisi tegak = Tinggi alat laser = 3 m
- Sisi datar = Jarak dari tongkat ke bukit = x

Segitiga besar:
- Sisi tegak = Tinggi bukit = H
- Sisi datar = Jarak dari Ali ke bukit = 4 m + x

Perhatikan bahwa Ali 'memandang ke arah ujung peralatan tersebut dan puncak bukit sehingga tampak sebagai garis lurus'. Ini mengkonfirmasi kesebangunan.

Perbandingan sisi tegak terhadap sisi datar:

3 / x = H / (4 + x)

3(4 + x) = Hx
12 + 3x = Hx

Kita perlu mencari x. Informasi 'garis pandang ke puncak bukit adalah 1.540 m' kemungkinan besar adalah jarak dari Agung (di alat laser) ke puncak bukit.

Maka, dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh alat laser:
- Tinggi = H - 3
- Alas = x
- Sisi miring = 1.540 m

x² + (H - 3)² = 1.540²

Ini masih sama.

Asumsi lain: 'Agung mengamati puncak bukit melalui alat tersebut dan diperoleh garis pandang ke puncak bukit adalah 1.540 m' merujuk pada jarak dari Agung (di ketinggian 3m) ke puncak bukit.

'Ali berbaring di tanah memandang ke arah ujung peralatan tersebut dan puncak bukit sehingga tampak sebagai garis lurus. Posisi mata Ali berjarak 4 m dari tongkat penyangga.'
Ini berarti Ali dan tongkat berada pada garis horizontal yang sama dengan tanah, dan mata Ali adalah titik observasi.

Jika kita melihat dari sudut pandang Ali:

Segitiga kecil (dibentuk oleh tongkat):
- Tinggi = 3 m (karena mata Ali di tanah, selisih tinggi tongkat dari tanah)
- Jarak horizontal dari Ali ke tongkat = 4 m

Segitiga besar (dibentuk oleh bukit):
- Tinggi = H
- Jarak horizontal dari Ali ke bukit = 4 m + x (di mana x adalah jarak tongkat ke bukit)

Dari kesamaan:
3 / 4 = H / (4 + x)
3(4+x) = 4H
12 + 3x = 4H
H = (12 + 3x) / 4
H = 3 + 3x/4

Sekarang, bagaimana dengan garis pandang 1.540 m?
Jika 1.540 m adalah jarak dari Agung (di alat 3m) ke puncak bukit.

Maka kita punya:
Sisi tegak = H - 3
Sisi alas = x
Sisi miring = 1.540 m

x² + (H - 3)² = 1.540²

Substitusikan H = 3 + 3x/4:
x² + ( (3 + 3x/4) - 3 )² = 1.540²
x² + (3x/4)² = 1.540²
x² + 9x²/16 = 1.540²
(16x² + 9x²) / 16 = 1.540²
25x² / 16 = 1.540²
x² = (1.540² * 16) / 25
x = sqrt(1.540² * 16 / 25)
x = (1.540 * 4) / 5
x = 6160 / 5
x = 1232 m

Sekarang hitung tinggi bukit H:
H = 3 + 3x/4
H = 3 + 3(1232)/4
H = 3 + 3 * 308
H = 3 + 924
H = 927 m

Jadi, perkiraan tinggi bukit adalah 927 meter.