Misal vektor a=i-3j+2k dan vektor b=3i-2i+z k . Jika

1.2

Pembahasan

Untuk menemukan nilai z, kita perlu menggunakan informasi tentang panjang proyeksi vektor a pada vektor b.

Diketahui:
vektor a = i - 3j + 2k = (1, -3, 2)
vektor b = 3i - 2j + z k = (3, -2, z)
Panjang proyeksi vektor a pada vektor b = 3

Rumus panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah:
Panjang Proyeksi a pada b = |(a · b)| / ||b||

Di mana:
a · b adalah hasil kali titik (dot product) antara vektor a dan vektor b.
||b|| adalah panjang (magnitudo) dari vektor b.

Langkah 1: Hitung hasil kali titik (a · b).
a · b = (ax * bx) + (ay * by) + (az * bz)
a · b = (1 * 3) + (-3 * -2) + (2 * z)
a · b = 3 + 6 + 2z
a · b = 9 + 2z

Langkah 2: Hitung panjang (magnitudo) dari vektor b (||b||).
||b|| = sqrt(bx^2 + by^2 + bz^2)
||b|| = sqrt(3^2 + (-2)^2 + z^2)
||b|| = sqrt(9 + 4 + z^2)
||b|| = sqrt(13 + z^2)

Langkah 3: Gunakan rumus panjang proyeksi dan substitusikan nilai yang diketahui.
3 = |9 + 2z| / sqrt(13 + z^2)

Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan nilai mutlak dan akar:
3^2 = (9 + 2z)^2 / (13 + z^2)
9 = (81 + 36z + 4z^2) / (13 + z^2)

Kalikan kedua sisi dengan (13 + z^2):
9 * (13 + z^2) = 81 + 36z + 4z^2
117 + 9z^2 = 81 + 36z + 4z^2

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
9z^2 - 4z^2 - 36z + 117 - 81 = 0
5z^2 - 36z + 36 = 0

Sekarang, kita selesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus abc: z = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a=5, b=-36, c=36.

z = [ -(-36) ± sqrt((-36)^2 - 4 * 5 * 36) ] / (2 * 5)
z = [ 36 ± sqrt(1296 - 720) ] / 10
z = [ 36 ± sqrt(576) ] / 10

Kita tahu bahwa sqrt(576) = 24.

z = [ 36 ± 24 ] / 10

Ada dua kemungkinan nilai untuk z:

Z1 = (36 + 24) / 10 = 60 / 10 = 6
Z2 = (36 - 24) / 10 = 12 / 10 = 1.2

Soal meminta nilai z yang tidak bulat. Oleh karena itu, nilai z yang tidak bulat adalah 1.2.