Misalkan a=3. Gambarkan grafik berikut. a. y=|x-a| b.

Grafik y=|x-3| bergeser ke kanan 3 satuan, grafik y=|x|-3 bergeser ke bawah 3 satuan. Keduanya sama jika x>=3, berbeda jika x<3. Grafik y=|x-a| selalu lebih besar atau sama dengan y=|x|-|a|.

Pembahasan

Diberikan a=3. Kita akan menggambar grafik y=|x-a| dan y=|x|-|a| serta membandingkannya.

a. Grafik y=|x-a| atau y=|x-3|:
Grafik ini adalah grafik nilai mutlak y=|x| yang digeser ke kanan sejauh 3 satuan.
Titik puncaknya berada di (3, 0).

b. Grafik y=|x|-|a| atau y=|x|-|3| atau y=|x|-3:
Grafik ini adalah grafik nilai mutlak y=|x| yang digeser ke bawah sejauh 3 satuan.
Titik puncaknya berada di (0, -3).

Perbandingan:
Grafik (a) memiliki puncak di (3, 0), sedangkan grafik (b) memiliki puncak di (0, -3).

Kapan kedua grafik bernilai sama?
Kedua grafik bernilai sama ketika |x-3| = |x|-3.
Kita bisa menganalisis ini dengan beberapa kasus:
Kasus 1: x >= 3. Maka x-3 >= 0, |x-3| = x-3. Juga |x| = x.
 x-3 = x-3. Ini berlaku untuk semua x >= 3.
Kasus 2: 0 <= x < 3. Maka x-3 < 0, |x-3| = -(x-3) = 3-x. Juga |x| = x.
 3-x = x-3
 6 = 2x
 x = 3. Tetapi ini bertentangan dengan asumsi 0 <= x < 3, jadi tidak ada solusi di sini.
Kasus 3: x < 0. Maka x-3 < 0, |x-3| = -(x-3) = 3-x. Juga |x| = -x.
 3-x = -x-3
 3 = -3. Ini tidak mungkin.
Jadi, kedua grafik bernilai sama untuk x >= 3.

Kapan kedua grafik bernilai berbeda?
Kedua grafik bernilai berbeda ketika x < 3.

Untuk setiap nilai x yang sama, nilai grafik fungsi mana yang lebih besar?
Kita bandingkan y_a = |x-3| dan y_b = |x|-3.
Jika x >= 3, y_a = y_b.
Jika 0 <= x < 3, y_a = 3-x dan y_b = x-3. Karena x < 3, x-3 negatif. Karena 0 <= x < 3, 3-x positif. Jadi y_a > y_b.
Jika x < 0, y_a = 3-x dan y_b = -x-3. y_a - y_b = (3-x) - (-x-3) = 3-x+x+3 = 6. Jadi y_a = y_b + 6. Dengan demikian, y_a > y_b.

Kesimpulan: Untuk setiap nilai x yang sama, nilai grafik fungsi y=|x-a| (grafik a) selalu lebih besar atau sama dengan nilai grafik fungsi y=|x|-|a| (grafik b).