Misalkan A adalah suatu bilangan bulat dan A = 2 + 20 + 201

4513340

Pembahasan

Misalkan A adalah suatu bilangan bulat dan A = 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + ... + 20162016...2016 (40 angka). Kita perlu menentukan tujuh angka terakhir dari A secara berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan satuan.
Untuk menentukan angka terakhir dari suatu penjumlahan, kita hanya perlu memperhatikan angka terakhir dari setiap suku yang dijumlahkan.
Suku pertama: 2 (angka terakhir 2)
Suku kedua: 20 (angka terakhir 0)
Suku ketiga: 201 (angka terakhir 1)
Suku keempat: 2016 (angka terakhir 6)
Suku kelima: 20162 (angka terakhir 2)
Suku keenam: 201620 (angka terakhir 0)
Suku ketujuh: 2016201 (angka terakhir 1)
Suku kedelapan: 20162016 (angka terakhir 6)
Pola angka terakhir dari suku-suku tersebut adalah 2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, ... Pola ini berulang setiap 4 suku.
Jumlah suku adalah 40. Karena pola berulang setiap 4 suku, maka dalam 40 suku terdapat 40/4 = 10 siklus pola.
Jumlah angka terakhir dari satu siklus pola (2+0+1+6) adalah 9.
Jadi, jumlah angka terakhir dari seluruh 40 suku adalah 10 siklus * 9 = 90.
Angka terakhir dari A adalah angka terakhir dari 90, yaitu 0.
Sekarang kita perlu mencari tujuh angka terakhir. Kita perlu menjumlahkan angka-angka terakhir dari setiap suku:
Suku ke-1 sampai ke-4: 2+0+1+6 = 9
Suku ke-5 sampai ke-8: 2+0+1+6 = 9
...
Suku ke-37 sampai ke-40: 2+0+1+6 = 9
Total penjumlahan 40 suku = 10 * 9 = 90.
Angka terakhir adalah 0.
Untuk angka puluhan, kita perlu melihat penjumlahan dua angka terakhir dari setiap suku. Namun, soal ini tampaknya meminta pola angka terakhir yang lebih kompleks daripada sekadar angka terakhir. Mari kita perhatikan pola lebih detail:
Suku ke-n:
Jika n mod 4 = 1, angka terakhirnya adalah 2.
Jika n mod 4 = 2, angka terakhirnya adalah 0.
Jika n mod 4 = 3, angka terakhirnya adalah 1.
Jika n mod 4 = 0, angka terakhirnya adalah 6.
Jumlah 40 suku. Ada 10 suku yang berakhiran 2, 10 suku berakhiran 0, 10 suku berakhiran 1, dan 10 suku berakhiran 6.
Jumlah total angka terakhir = 10*2 + 10*0 + 10*1 + 10*6 = 20 + 0 + 10 + 60 = 90.
Angka satuan dari A adalah 0.
Sekarang kita perlu mencari angka puluhan. Ini berarti kita perlu melihat digit puluhan dari setiap suku dan menjumlahkannya, lalu melihat angka terakhir dari hasil penjumlahan tersebut.
Suku 1: 2
Suku 2: 20
Suku 3: 201
Suku 4: 2016
Suku 5: 20162
Suku 6: 201620
Suku 7: 2016201
Suku 8: 20162016
Pola suku adalah: 2, 20, 201, 2016, 20162, 201620, 2016201, 20162016, ...
Perhatikan bahwa setelah suku ke-4, pola angka yang ditambahkan adalah 2016 yang diulang.
Mari kita lihat digit puluhan dari setiap suku:
Suku 1: 0
Suku 2: 2
Suku 3: 0
Suku 4: 1
Suku 5: 6
Suku 6: 2
Suku 7: 0
Suku 8: 1
Pola digit puluhan dari suku ke-4 dan seterusnya adalah: 1, 6, 2, 0, 1, 6, 2, 0, ... Pola ini berulang setiap 4 suku (1, 6, 2, 0).
Kita perlu menjumlahkan digit puluhan dari semua 40 suku.
Digit puluhan suku 1, 2, 3: 0, 2, 0.
Digit puluhan suku 4 sampai 40: Ada 37 suku lagi.
Untuk suku ke-4 sampai ke-40, kita memiliki 37 suku.
Mari kita lihat pola digit puluhan dari suku ke-4:
Suku 4: 1
Suku 5: 6
Suku 6: 2
Suku 7: 0
Suku 8: 1
Pola berulang (1, 6, 2, 0) dimulai dari suku ke-4.
Dalam 37 suku (dari suku ke-4 sampai ke-40), berapa kali pola ini berulang?
37 dibagi 4 = 9 sisa 1.
Jadi, pola (1, 6, 2, 0) berulang 9 kali penuh, ditambah 1 suku pertama dari pola tersebut.
Jumlah digit puluhan dari pola berulang (1+6+2+0) = 9.
Jumlah digit puluhan dari suku ke-4 sampai ke-40 adalah (9 * 9) + 1 = 81 + 1 = 82.
Sekarang kita jumlahkan semua digit puluhan:
Total digit puluhan = (digit puluhan suku 1, 2, 3) + (digit puluhan suku 4 sampai 40)
Total digit puluhan = (0 + 2 + 0) + 82 = 2 + 82 = 84.
Angka puluhan dari A adalah angka terakhir dari 84, yaitu 4.

Sekarang kita perlu mencari angka ratusan. Mari kita lihat digit ratusan dari setiap suku:
Suku 1: 0
Suku 2: 0
Suku 3: 2
Suku 4: 0
Suku 5: 1
Suku 6: 6
Suku 7: 2
Suku 8: 0
Suku 9: 1
Suku 10: 6
Suku 11: 2
Suku 12: 0
Pola digit ratusan:
Suku 1, 2: 0
Suku 3: 2
Suku 4: 0
Suku 5: 1
Suku 6: 6
Suku 7: 2
Suku 8: 0
Suku 9: 1
Suku 10: 6
Suku 11: 2
Suku 12: 0
Pola yang jelas untuk digit ratusan dari suku ke-3 dan seterusnya:
2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, ...
Pola berulang (2, 0, 1, 6) dimulai dari suku ke-3.
Kita perlu menjumlahkan digit ratusan dari semua 40 suku.
Digit ratusan suku 1, 2: 0, 0.
Digit ratusan suku 3 sampai 40: Ada 38 suku lagi.
Dalam 38 suku (dari suku ke-3 sampai ke-40), berapa kali pola (2, 0, 1, 6) berulang?
38 dibagi 4 = 9 sisa 2.
Jadi, pola (2, 0, 1, 6) berulang 9 kali penuh, ditambah 2 suku pertama dari pola tersebut.
Jumlah digit ratusan dari pola berulang (2+0+1+6) = 9.
Jumlah digit ratusan dari suku ke-3 sampai ke-40 adalah (9 * 9) + 2 + 0 = 81 + 2 = 83.
Sekarang kita jumlahkan semua digit ratusan:
Total digit ratusan = (digit ratusan suku 1, 2) + (digit ratusan suku 3 sampai 40)
Total digit ratusan = (0 + 0) + 83 = 83.
Angka ratusan dari A adalah angka terakhir dari 83, yaitu 3.

Mari kita cari angka ribuan.
Suku 1: 0
Suku 2: 0
Suku 3: 0
Suku 4: 2
Suku 5: 0
Suku 6: 1
Suku 7: 6
Suku 8: 2
Suku 9: 0
Suku 10: 1
Suku 11: 6
Suku 12: 2
Digit ribuan dari suku ke-4 dan seterusnya:
2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, ...
Pola berulang (2, 0, 1, 6) dimulai dari suku ke-4.
Kita perlu menjumlahkan digit ribuan dari semua 40 suku.
Digit ribuan suku 1, 2, 3: 0, 0, 0.
Digit ribuan suku 4 sampai 40: Ada 37 suku lagi.
Dalam 37 suku (dari suku ke-4 sampai ke-40), berapa kali pola (2, 0, 1, 6) berulang?
37 dibagi 4 = 9 sisa 1.
Jadi, pola (2, 0, 1, 6) berulang 9 kali penuh, ditambah 1 suku pertama dari pola tersebut.
Jumlah digit ribuan dari pola berulang (2+0+1+6) = 9.
Jumlah digit ribuan dari suku ke-4 sampai ke-40 adalah (9 * 9) + 2 = 81 + 2 = 83.
Sekarang kita jumlahkan semua digit ribuan:
Total digit ribuan = (digit ribuan suku 1, 2, 3) + (digit ribuan suku 4 sampai 40)
Total digit ribuan = (0 + 0 + 0) + 83 = 83.
Angka ribuan dari A adalah angka terakhir dari 83, yaitu 3.

Mari kita cari angka puluhan ribu.
Digit puluhan ribu dari suku:
Suku 1-4: 0
Suku 5: 2
Suku 6: 0
Suku 7: 1
Suku 8: 6
Suku 9: 2
Suku 10: 0
Suku 11: 1
Suku 12: 6
Pola digit puluhan ribu dari suku ke-5 dan seterusnya:
2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, ...
Pola berulang (2, 0, 1, 6) dimulai dari suku ke-5.
Kita perlu menjumlahkan digit puluhan ribu dari semua 40 suku.
Digit puluhan ribu suku 1-4: 0, 0, 0, 0.
Digit puluhan ribu suku 5 sampai 40: Ada 36 suku lagi.
Dalam 36 suku (dari suku ke-5 sampai ke-40), berapa kali pola (2, 0, 1, 6) berulang?
36 dibagi 4 = 9 sisa 0.
Jadi, pola (2, 0, 1, 6) berulang 9 kali penuh.
Jumlah digit puluhan ribu dari pola berulang (2+0+1+6) = 9.
Jumlah digit puluhan ribu dari suku ke-5 sampai ke-40 adalah 9 * 9 = 81.
Sekarang kita jumlahkan semua digit puluhan ribu:
Total digit puluhan ribu = (digit puluhan ribu suku 1-4) + (digit puluhan ribu suku 5 sampai 40)
Total digit puluhan ribu = (0 + 0 + 0 + 0) + 81 = 81.
Angka puluhan ribu dari A adalah angka terakhir dari 81, yaitu 1.

Mari kita cari angka ratusan ribu.
Digit ratusan ribu dari suku:
Suku 1-5: 0
Suku 6: 2
Suku 7: 0
Suku 8: 1
Suku 9: 6
Suku 10: 2
Pola digit ratusan ribu dari suku ke-6 dan seterusnya:
2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, ...
Pola berulang (2, 0, 1, 6) dimulai dari suku ke-6.
Kita perlu menjumlahkan digit ratusan ribu dari semua 40 suku.
Digit ratusan ribu suku 1-5: 0, 0, 0, 0, 0.
Digit ratusan ribu suku 6 sampai 40: Ada 35 suku lagi.
Dalam 35 suku (dari suku ke-6 sampai ke-40), berapa kali pola (2, 0, 1, 6) berulang?
35 dibagi 4 = 8 sisa 3.
Jadi, pola (2, 0, 1, 6) berulang 8 kali penuh, ditambah 3 suku pertama dari pola tersebut.
Jumlah digit ratusan ribu dari pola berulang (2+0+1+6) = 9.
Jumlah digit ratusan ribu dari suku ke-6 sampai ke-40 adalah (8 * 9) + 2 + 0 + 1 = 72 + 3 = 75.
Sekarang kita jumlahkan semua digit ratusan ribu:
Total digit ratusan ribu = (digit ratusan ribu suku 1-5) + (digit ratusan ribu suku 6 sampai 40)
Total digit ratusan ribu = (0 + 0 + 0 + 0 + 0) + 75 = 75.
Angka ratusan ribu dari A adalah angka terakhir dari 75, yaitu 5.

Mari kita cari angka jutaan.
Digit jutaan dari suku:
Suku 1-6: 0
Suku 7: 2
Suku 8: 0
Suku 9: 1
Suku 10: 6
Suku 11: 2
Pola digit jutaan dari suku ke-7 dan seterusnya:
2, 0, 1, 6, 2, 0, 1, 6, ...
Pola berulang (2, 0, 1, 6) dimulai dari suku ke-7.
Kita perlu menjumlahkan digit jutaan dari semua 40 suku.
Digit jutaan suku 1-6: 0, 0, 0, 0, 0, 0.
Digit jutaan suku 7 sampai 40: Ada 34 suku lagi.
Dalam 34 suku (dari suku ke-7 sampai ke-40), berapa kali pola (2, 0, 1, 6) berulang?
34 dibagi 4 = 8 sisa 2.
Jadi, pola (2, 0, 1, 6) berulang 8 kali penuh, ditambah 2 suku pertama dari pola tersebut.
Jumlah digit jutaan dari pola berulang (2+0+1+6) = 9.
Jumlah digit jutaan dari suku ke-7 sampai ke-40 adalah (8 * 9) + 2 + 0 = 72 + 2 = 74.
Sekarang kita jumlahkan semua digit jutaan:
Total digit jutaan = (digit jutaan suku 1-6) + (digit jutaan suku 7 sampai 40)
Total digit jutaan = (0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) + 74 = 74.
Angka jutaan dari A adalah angka terakhir dari 74, yaitu 4.

Jadi, tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan satuan adalah 4, 5, 1, 3, 3, 4, 0.