Diketahui limas segi empat T.ABCD dengan rusuk-rusuk tegak

√82 / 10

Pembahasan

Untuk mencari nilai sin alpha, di mana alpha adalah sudut antara bidang TAB dan bidang alas ABCD, kita perlu mencari tinggi limas dan menggunakan teorema Pythagoras.

Misalkan O adalah titik pusat persegi panjang ABCD. Maka O adalah perpotongan diagonal AC dan BD.
Karena ABCD adalah persegi panjang, maka AO = OC dan BO = OD.
Panjang diagonal AC dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC:
AC² = AB² + BC²
AC² = 10² + 12²
AC² = 100 + 144
AC² = 244
AC = √244 = 2√61 cm

Jarak dari O ke AB (setengah lebar) adalah 6 cm, dan jarak dari O ke BC (setengah panjang) adalah 5 cm.

Misalkan P adalah titik tengah AB. Maka OP tegak lurus AB, dan panjang OP = 1/2 BC = 1/2 * 12 = 6 cm.
Misalkan Q adalah titik tengah BC. Maka OQ tegak lurus BC, dan panjang OQ = 1/2 AB = 1/2 * 10 = 5 cm.

Bidang TAB dibentuk oleh titik T, A, dan B. Rusuk tegak adalah rusuk yang menghubungkan titik puncak T dengan titik-titik alas. Namun, dalam konteks limas segi empat dengan rusuk tegak 15 cm, biasanya ini merujuk pada panjang rusuk-rusuk sisi tegak (TA, TB, TC, TD). Jika diasumsikan TA = TB = TC = TD = 15 cm, maka limasnya adalah limas tegak.

Dalam kasus limas tegak dengan alas persegi panjang, titik T berada tepat di atas pusat alas (titik O).
Jadi, TO adalah tinggi limas.
Kita bisa menggunakan segitiga siku-siku TOA, TOB, TOC, atau TOD untuk mencari tinggi TO, karena TA=TB=TC=TD=15.

Mari kita gunakan segitiga TOB:
TB² = TO² + OB²
OB adalah setengah dari diagonal BD. Karena ABCD persegi panjang, AC = BD = 2√61, jadi OB = 1/2 * 2√61 = √61 cm.

15² = TO² + (√61)²
225 = TO² + 61
TO² = 225 - 61
TO² = 164
TO = √164 = 2√41 cm (Ini adalah tinggi limas).

Sekarang kita perlu mencari sudut alpha antara bidang TAB dan bidang alas ABCD. Sudut ini dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang (yaitu garis AB) pada bidang yang sama.

1. Pada bidang alas ABCD, garis yang tegak lurus AB dan melalui titik di bidang TAB adalah garis yang ditarik dari O tegak lurus AB. Misalkan titik tengah AB adalah P. Maka OP tegak lurus AB, dan panjang OP = 1/2 BC = 6 cm.

2. Pada bidang TAB, garis yang tegak lurus AB dan melalui T adalah garis tinggi dari T ke AB. Karena TA = TB (limas tegak dengan alas persegi panjang), segitiga TAB adalah segitiga sama kaki. Garis tinggi dari T ke AB akan jatuh pada titik tengah AB, yaitu P.
Jadi, TP adalah garis tinggi dari T ke AB pada bidang TAB.

Kita bisa mencari panjang TP menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku TOP (karena TO tegak lurus bidang alas, maka TO juga tegak lurus OP) atau segitiga siku-siku TPA.

Mari gunakan segitiga TPA:
TA² = TP² + AP²
AP = 1/2 AB = 1/2 * 10 = 5 cm.
TA = 15 cm.
15² = TP² + 5²
225 = TP² + 25
TP² = 225 - 25
TP² = 200
TP = √200 = 10√2 cm.

Sekarang, sudut alpha adalah sudut antara OP dan TP, yaitu sudut ∠TPO.
Kita memiliki segitiga siku-siku TOP (siku-siku di O):
Sisi TO = 2√41 cm (tinggi limas)
Sisi OP = 6 cm
Sisi TP = 10√2 cm

Untuk mencari sin alpha, kita gunakan definisi sinus dalam segitiga siku-siku TOP:
sin alpha = (Sisi depan sudut alpha) / (Sisi miring)
sin alpha = TO / TP
sin alpha = (2√41) / (10√2)

Untuk menyederhanakan:
sin alpha = (√41) / (5√2)
Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan √2/√2:
sin alpha = (√41 * √2) / (5√2 * √2)
sin alpha = √82 / (5 * 2)
sin alpha = √82 / 10

Jadi, nilai sin alpha adalah √82 / 10.