Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 3x^2-6x+5=0 adalah x1

3x^2 + 6x + 11 = 0

Pembahasan

Untuk mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akar (2x1-3) dan (2x2-3), kita dapat menggunakan sifat akar-akar persamaan kuadrat. Misalkan persamaan kuadrat lama adalah $ax^2+bx+c=0$. Dari persamaan $3x^2-6x+5=0$, kita punya $a=3$, $b=-6$, dan $c=5$.

Jumlah akar-akar lama: $x1 + x2 = -b/a = -(-6)/3 = 6/3 = 2$.

Perkalian akar-akar lama: $x1 * x2 = c/a = 5/3$.

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah $y1$ dan $y2$. Maka:
$y1 = 2x1 - 3$
$y2 = 2x2 - 3$

Jumlah akar-akar baru: $y1 + y2 = (2x1 - 3) + (2x2 - 3) = 2(x1 + x2) - 6 = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2$.

Perkalian akar-akar baru: $y1 * y2 = (2x1 - 3)(2x2 - 3) = 4(x1 * x2) - 6x1 - 6x2 + 9 = 4(x1 * x2) - 6(x1 + x2) + 9 = 4(5/3) - 6(2) + 9 = 20/3 - 12 + 9 = 20/3 - 3 = 20/3 - 9/3 = 11/3$.

Persamaan kuadrat baru dapat dibentuk dengan rumus $y^2 - (y1+y2)y + (y1*y2) = 0$.
Substitusikan nilai jumlah dan perkalian akar-akar baru:
$y^2 - (-2)y + (11/3) = 0$
$y^2 + 2y + 11/3 = 0$
Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan 3:
$3y^2 + 6y + 11 = 0$.
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2x1-3) dan (2x2-3) adalah $3x^2 + 6x + 11 = 0$.