Misalkan m dan bilangan bulat n positif yang memenuhi 1/m +

200

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai m dan n terlebih dahulu dari persamaan 1/m + 1/n = 4/7. Persamaan ini dapat diubah menjadi (m+n)/mn = 4/7 atau 7(m+n) = 4mn. Karena m dan n adalah bilangan bulat positif, kita dapat mencoba beberapa nilai atau menggunakan sifat-sifat persamaan Diophantine. Salah satu cara adalah dengan memanipulasi persamaan menjadi bentuk (an-c)(bm-d) = k. Dalam kasus ini, kita dapat mengatur ulang persamaan menjadi 4mn - 7m - 7n = 0. Dengan menambahkan (7/4)*(7/4) = 49/16 pada kedua sisi, kita mendapatkan 4mn - 7m - 7n + 49/4 = 49/4, yang dapat difaktorkan menjadi (2m - 7/2)(2n - 7/2) = 49/4 atau (4m-7)(4n-7) = 49. Karena m dan n adalah bilangan bulat positif, maka 4m-7 dan 4n-7 juga harus merupakan faktor dari 49. Faktor-faktor dari 49 adalah (1, 49) dan (7, 7). 

Kasus 1: 4m-7 = 1 dan 4n-7 = 49. Maka 4m = 8 -> m = 2 dan 4n = 56 -> n = 14. 
Kasus 2: 4m-7 = 7 dan 4n-7 = 7. Maka 4m = 14 -> m = 3.5 (bukan bilangan bulat, jadi tidak memenuhi syarat). 
Jadi, satu-satunya solusi bilangan bulat positif adalah m=2 dan n=14 (atau sebaliknya). 
Selanjutnya, kita hitung nilai m^2 + n^2 = 2^2 + 14^2 = 4 + 196 = 200.

Jawaban singkatnya: 200