Misalkan n >= 2 bilangan asli sedemikian sehingga untuk

10

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan teori bilangan, khususnya mengenai bilangan prima dan sifat-sifat aritmetika. Kita perlu mencari semua bilangan asli n (dimana n >= 2) sedemikian sehingga untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b yang jumlahnya sama dengan n (a + b = n), hasil dari a^2 + b^2 selalu merupakan bilangan prima. Mari kita analisis beberapa nilai n:

- Jika n = 2: Pasangan (a, b) adalah (1, 1). Maka a + b = 2. a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2. Bilangan 2 adalah bilangan prima. Jadi, n = 2 memenuhi syarat.
- Jika n = 3: Pasangan (a, b) adalah (1, 2) atau (2, 1). Maka a + b = 3. a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5. Bilangan 5 adalah bilangan prima. Jadi, n = 3 memenuhi syarat.
- Jika n = 4: Pasangan (a, b) adalah (1, 3) atau (2, 2) atau (3, 1). Jika (a, b) = (1, 3), maka a^2 + b^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10. Bilangan 10 bukan bilangan prima. Jadi, n = 4 tidak memenuhi syarat.
- Jika n = 5: Pasangan (a, b) adalah (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Jika (a, b) = (1, 4), maka a^2 + b^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17. Bilangan 17 adalah bilangan prima. Jika (a, b) = (2, 3), maka a^2 + b^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13. Bilangan 13 adalah bilangan prima. Jadi, n = 5 memenuhi syarat.
- Jika n = 6: Pasangan (a, b) adalah (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1). Jika (a, b) = (2, 4), maka a^2 + b^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20. Bilangan 20 bukan bilangan prima. Jadi, n = 6 tidak memenuhi syarat.

Setelah menganalisis beberapa kasus, tampaknya hanya n=2, n=3, dan n=5 yang memenuhi syarat. Perlu diperhatikan bahwa jika n adalah bilangan genap yang lebih besar dari 2, maka kita selalu dapat memilih a = n/2 dan b = n/2. Dalam kasus ini, a^2 + b^2 = (n/2)^2 + (n/2)^2 = 2 * (n/2)^2 = 2 * (n^2/4) = n^2/2. Agar n^2/2 prima, n^2 haruslah 2 (karena prima hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri, dan di sini ada faktor 2). Namun, n^2 = 2 tidak mungkin terjadi untuk bilangan asli n. Jadi, n genap yang lebih besar dari 2 tidak memenuhi syarat. Untuk n ganjil yang lebih besar, perlu pembuktian lebih lanjut, namun berdasarkan pola yang terlihat, n=3 dan n=5 adalah kandidat.

Jika kita uji n=7, pasangan (a,b) bisa (1,6), (2,5), (3,4). a^2+b^2: 1+36=37 (prima), 4+25=29 (prima), 9+16=25 (bukan prima). Jadi n=7 tidak memenuhi.

Dengan demikian, bilangan asli n yang memenuhi adalah 2, 3, dan 5.

Hasil penjumlahan semua bilangan asli n semacam itu adalah 2 + 3 + 5 = 10.