x, y, dan z adalah penyelesaian dari sistem persamaan: 3x +

124638/8281

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan:
1) 3x + 4y - 5z = 12
2) 2x + 5y - z = 17
3) 6x + 2y - 3z = 17

Kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan ini. Mari kita gunakan metode eliminasi.
Kalikan persamaan (2) dengan 5 untuk mengeliminasi z dari persamaan (1) dan (2):
5 * (2x + 5y - z) = 5 * 17  => 10x + 25y - 5z = 85 (4)
Kurangkan persamaan (1) dari persamaan (4):
(10x + 25y - 5z) - (3x + 4y - 5z) = 85 - 12
7x + 21y = 73 (5)

Kalikan persamaan (2) dengan 3 untuk mengeliminasi z dari persamaan (2) dan (3):
3 * (2x + 5y - z) = 3 * 17  => 6x + 15y - 3z = 51 (6)
Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (6):
(6x + 15y - 3z) - (6x + 2y - 3z) = 51 - 17
13y = 34
y = 34/13

Substitusikan nilai y ke persamaan (5):
7x + 21(34/13) = 73
7x + 714/13 = 73
7x = 73 - 714/13
7x = (949 - 714) / 13
7x = 235 / 13
x = 235 / (13 * 7)
x = 235 / 91

Substitusikan nilai x dan y ke persamaan (2) untuk mencari z:
2(235/91) + 5(34/13) - z = 17
470/91 + 170/13 - z = 17
470/91 + (170 * 7) / (13 * 7) - z = 17
470/91 + 1190/91 - z = 17
1660/91 - z = 17
z = 1660/91 - 17
z = (1660 - 17 * 91) / 91
z = (1660 - 1547) / 91
z = 113 / 91

Sekarang hitung x^2 + y^2 + z^2:
x^2 = (235/91)^2 = 55225 / 8281
y^2 = (34/13)^2 = 1156 / 169 = (1156 * 49) / (169 * 49) = 56644 / 8281
z^2 = (113/91)^2 = 12769 / 8281

x^2 + y^2 + z^2 = (55225 + 56644 + 12769) / 8281
x^2 + y^2 + z^2 = 124638 / 8281

Jika kita sederhanakan nilai x, y, z sebelum menghitung kuadratnya:
Dari 13y = 34, y = 34/13.
Dari 7x + 21y = 73, 7x + 21(34/13) = 73, 7x = 73 - 714/13 = (949-714)/13 = 235/13, x = 235/91.
Dari 2x + 5y - z = 17, z = 2x + 5y - 17 = 2(235/91) + 5(34/13) - 17 = 470/91 + 170/13 - 17 = 470/91 + 1190/91 - 1547/91 = (470+1190-1547)/91 = 113/91.

Mari kita cek kembali dengan persamaan 3: 6x + 2y - 3z = 17
6(235/91) + 2(34/13) - 3(113/91) = 1410/91 + 68/13 - 339/91 = 1410/91 + (68*7)/91 - 339/91 = 1410/91 + 476/91 - 339/91 = (1410+476-339)/91 = 1547/91 = 17. Persamaan cocok.

x^2 + y^2 + z^2 = (235/91)^2 + (34/13)^2 + (113/91)^2
= (55225/8281) + (1156/169) + (12769/8281)
= (55225/8281) + (1156*49)/(169*49) + (12769/8281)
= (55225/8281) + (56644/8281) + (12769/8281)
= (55225 + 56644 + 12769) / 8281
= 124638 / 8281

Mencari penyederhanaan dari 124638 / 8281. FPB dari 124638 dan 8281 adalah 1. Jadi hasilnya adalah 124638 / 8281.
Perkiraan: 124638 / 8281 ≈ 15.05

Mari kita periksa apakah ada kesalahan dalam perhitungan.

Kita akan coba metode eliminasi yang berbeda.
Kalikan persamaan (2) dengan 3: 6x + 15y - 3z = 51 (Pers 7)
Kurangkan persamaan (3) dari Pers 7: (6x + 15y - 3z) - (6x + 2y - 3z) = 51 - 17 => 13y = 34 => y = 34/13.

Kalikan persamaan (1) dengan 2: 6x + 8y - 10z = 24 (Pers 8)
Kurangkan persamaan (3) dari Pers 8: (6x + 8y - 10z) - (6x + 2y - 3z) = 24 - 17 => 6y - 7z = 7 (Pers 9)
Substitusikan y = 34/13 ke Pers 9:
6(34/13) - 7z = 7
204/13 - 7z = 7
-7z = 7 - 204/13
-7z = (91 - 204) / 13
-7z = -113 / 13
z = 113 / (13 * 7)
z = 113 / 91.

Substitusikan y dan z ke persamaan (2): 2x + 5y - z = 17
2x + 5(34/13) - 113/91 = 17
2x + 170/13 - 113/91 = 17
2x = 17 - 170/13 + 113/91
2x = (17 * 91 - 170 * 7 + 113) / 91
2x = (1547 - 1190 + 113) / 91
2x = (357 + 113) / 91
2x = 470 / 91
x = 470 / (91 * 2)
x = 235 / 91.

Nilai x, y, z sama dengan perhitungan sebelumnya.

x^2 + y^2 + z^2 = (235/91)^2 + (34/13)^2 + (113/91)^2
= 55225/8281 + 1156/169 + 12769/8281
= 55225/8281 + 56644/8281 + 12769/8281
= 124638/8281

Hasilnya adalah 124638/8281.