Nilai dari (2-4 sin^2 67,5)/(sin^2 22,5-cos^2 22,5) adalah

2

Pembahasan

Kita perlu menghitung nilai dari ekspresi: \(\frac{2 - 4 \sin^2(67.5^{\circ})}{\sin^2(22.5^{\circ}) - \cos^2(22.5^{\circ})}\).

Mari kita sederhanakan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Pembilang: \(2 - 4 \sin^2(67.5^{\circ})\).
Gunakan identitas \(\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)\). Dari sini, \(2\sin^2(\theta) = 1 - \cos(2\theta)\), dan \(4\sin^2(\theta) = 2(1 - \cos(2\theta)) = 2 - 2\cos(2\theta)\).
Substitusikan \(\theta = 67.5^{\circ}\):
\(4\sin^2(67.5^{\circ}) = 2 - 2\cos(2 \times 67.5^{\circ}) = 2 - 2\cos(135^{\circ})\).
Kita tahu bahwa \(\cos(135^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Jadi, \(4\sin^2(67.5^{\circ}) = 2 - 2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 + \sqrt{2}\).

Maka, pembilangnya adalah: \(2 - (2 + \sqrt{2}) = 2 - 2 - \sqrt{2} = -\sqrt{2}\).

Penyebut: \(\sin^2(22.5^{\circ}) - \cos^2(22.5^{\circ})\).
Gunakan identitas \(\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\). Maka, \(\sin^2(\theta) - \cos^2(\theta) = -\cos(2\theta)\).
Substitusikan \(\theta = 22.5^{\circ}\):
\(\sin^2(22.5^{\circ}) - \cos^2(22.5^{\circ}) = -\cos(2 \times 22.5^{\circ}) = -\cos(45^{\circ})\).
Kita tahu bahwa \(\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Jadi, penyebutnya adalah \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Sekarang, hitung nilai keseluruhan ekspresi:
$$ \frac{\text{Pembilang}}{\text{Penyebut}} = \frac{-\sqrt{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} $$ 
$$ = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 $$ 

Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah 2.