Nilai dari distribusi binomial b(2 | 4, 1/3) sama

8/27

Pembahasan

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit dari jumlah keberhasilan dalam urutan percobaan Bernoulli independen, masing-masing dengan probabilitas keberhasilan yang sama. Notasinya adalah b(k | n, p), di mana:
k = jumlah keberhasilan
n = jumlah percobaan
p = probabilitas keberhasilan dalam satu percobaan

Rumus fungsi massa probabilitas (probability mass function/PMF) untuk distribusi binomial adalah:
P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Dalam soal ini, kita diminta untuk mencari nilai dari b(2 | 4, 1/3).
Ini berarti:
k = 2 (jumlah keberhasilan)
n = 4 (jumlah percobaan)
p = 1/3 (probabilitas keberhasilan)
1-p = 1 - 1/3 = 2/3 (probabilitas kegagalan)

Kita perlu menghitung P(X=2) dengan n=4 dan p=1/3.

P(X=2) = C(4, 2) * (1/3)^2 * (2/3)^(4-2)

Hitung C(4, 2):
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!)
C(4, 2) = 4! / (2! * 2!)
C(4, 2) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1))
C(4, 2) = 24 / (2 * 2)
C(4, 2) = 24 / 4
C(4, 2) = 6

Hitung (1/3)^2:
(1/3)^2 = 1/9

Hitung (2/3)^(4-2) = (2/3)^2:
(2/3)^2 = 4/9

Sekarang substitusikan kembali ke rumus PMF:
P(X=2) = 6 * (1/9) * (4/9)
P(X=2) = 6 * (4 / 81)
P(X=2) = 24 / 81

Sederhanakan pecahan 24/81 dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:
24 / 3 = 8
81 / 3 = 27

P(X=2) = 8/27

Jadi, nilai dari distribusi binomial b(2 | 4, 1/3) adalah 8/27.