Nilai dari integral pi/4 pi/2 (2 sin x+cos x)dx adalah...

$1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari $\frac{\pi}{4}$ hingga $\frac{\pi}{2}$ dari $(2 \sin x + \cos x)dx$, kita perlu mencari antiturunan dari fungsi tersebut terlebih dahulu. Antiturunan dari $2 \sin x$ adalah $-2 \cos x$, dan antiturunan dari $\cos x$ adalah $\sin x$. Jadi, antiturunan dari $(2 \sin x + \cos x)$ adalah $-2 \cos x + \sin x$.

Selanjutnya, kita evaluasi antiturunan ini pada batas atas ($\frac{\pi}{2}$) dan batas bawah ($\frac{\pi}{4}$), lalu kurangkan:

$[(-2 \cos x + \sin x)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (-2 \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})) - (-2 \cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{4}))$

$= (-2(0) + 1) - (-2(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{2}}{2})$

$= (1) - (-\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

$= 1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Jadi, nilai dari integral tersebut adalah $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.