Nilai dari lim x->0 (cos x-cos 3x)/(1-cos 2x) =

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit berikut:
lim (x→0) [cos(x) - cos(3x)] / [1 - cos(2x)]

Kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
cos(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0
1 - cos(0) = 1 - 1 = 0

Menggunakan Aturan L'Hopital:
Turunan dari pembilang: d/dx [cos(x) - cos(3x)] = -sin(x) - (-sin(3x) * 3) = -sin(x) + 3sin(3x)
Turunan dari penyebut: d/dx [1 - cos(2x)] = 0 - (-sin(2x) * 2) = 2sin(2x)

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x→0) [-sin(x) + 3sin(3x)] / [2sin(2x)]

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk 0/0, jadi kita terapkan aturan L'Hopital sekali lagi.

Turunan dari pembilang baru: d/dx [-sin(x) + 3sin(3x)] = -cos(x) + 3(cos(3x) * 3) = -cos(x) + 9cos(3x)
Turunan dari penyebut baru: d/dx [2sin(2x)] = 2(cos(2x) * 2) = 4cos(2x)

Sekarang limitnya menjadi:
lim (x→0) [-cos(x) + 9cos(3x)] / [4cos(2x)]

Substitusikan x=0:
[-cos(0) + 9cos(0)] / [4cos(0)]
[-1 + 9(1)] / [4(1)]
[-1 + 9] / 4
8 / 4
= 2

Metode lain menggunakan identitas trigonometri dan limit standar:
Kita tahu bahwa lim (x→0) sin(x)/x = 1 dan lim (x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2.
Kita juga bisa menggunakan identitas cos(A) - cos(B) = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2) dan 1 - cos(2x) = 2sin^2(x).

lim (x→0) [cos(x) - cos(3x)] / [1 - cos(2x)]
= lim (x→0) [-2 sin((x+3x)/2) sin((x-3x)/2)] / [2 sin^2(x)]
= lim (x→0) [-2 sin(2x) sin(-x)] / [2 sin^2(x)]
Karena sin(-x) = -sin(x):
= lim (x→0) [-2 sin(2x) (-sin(x))] / [2 sin^2(x)]
= lim (x→0) [2 sin(2x) sin(x)] / [2 sin^2(x)]
= lim (x→0) [sin(2x) sin(x)] / [sin^2(x)]
Gunakan sin(2x) = 2sin(x)cos(x):
= lim (x→0) [2sin(x)cos(x) sin(x)] / [sin^2(x)]
= lim (x→0) [2sin^2(x)cos(x)] / [sin^2(x)]
= lim (x→0) 2cos(x)
= 2cos(0)
= 2 * 1
= 2

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 2.