Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm jarak titik E ke

2 akar(3)

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm.
Kita perlu mencari jarak dari titik E ke bidang AFH.
Bidang AFH dibentuk oleh diagonal AC dan diagonal AH dari muka kubus.
Titik E berkoordinat (6, 6, 6) jika kita letakkan A di (0,0,0), B di (6,0,0), D di (0,6,0), E di (6,0,6), H di (0,6,6).
Bidang AFH melalui titik A(0,0,0), F(6,6,0), H(0,6,6).
Persamaan bidang AFH dapat dicari dengan normal vektor.

Cara lain adalah menggunakan rumus jarak titik ke bidang.
Jarak titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Dalam kasus ini, lebih mudah menggunakan konsep geometri.
Proyeksi titik E pada bidang AFH adalah titik O, yaitu pusat kubus.
Jarak EO adalah setengah dari panjang diagonal ruang AG.
Panjang diagonal ruang AG = sqrt(s^2 + s^2 + s^2) = sqrt(3s^2) = s * sqrt(3).
Untuk s = 6, panjang AG = 6 * sqrt(3).
Jarak EO = (1/2) * AG = (1/2) * 6 * sqrt(3) = 3 * sqrt(3).

Namun, soal menanyakan jarak titik E ke bidang AFH, bukan jarak dari pusat kubus ke bidang tersebut.
Mari kita tinjau kembali. Titik E adalah salah satu titik sudut atas kubus. Bidang AFH adalah salah satu bidang diagonal yang memotong kubus.

Perhatikan segitiga siku-siku AEH. AE = 6, EH = 6, AH = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(72) = 6*sqrt(2).
Bidang AFH adalah segitiga AFH. Titik E bukan bagian dari bidang ini.

Mari kita gunakan pendekatan lain. Jarak dari titik E ke bidang AFH adalah tinggi dari tetrahedron EFHA terhadap alas AFH.

Kita bisa juga melihat jarak dari E ke bidang AFH sebagai jarak dari E ke garis proyeksinya pada bidang tersebut. Atau menggunakan vektor.

Misalkan titik A sebagai pusat koordinat (0,0,0).
E = (0, 6, 6)
F = (6, 6, 6)
H = (0, 0, 6)

Perhatikan bidang AFH. Titik A=(0,0,0), F=(6,6,0), H=(0,6,6).
Bidang yang melalui A, F, H memiliki persamaan Ax + By + Cz = 0.
Substitusikan F: 6A + 6B = 0 => A = -B.
Substitusikan H: 6B + 6C = 0 => B = -C.
Maka, A = -B = C.
Misal C = 1, maka B = -1, A = 1.
Persamaan bidang AFH adalah x - y + z = 0.

Titik E memiliki koordinat (0, 6, 6).
Jarak dari E(0, 6, 6) ke bidang x - y + z = 0 adalah:
|1*(0) - 1*(6) + 1*(6) + 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + 1^2)
= |0 - 6 + 6| / sqrt(1 + 1 + 1)
= |0| / sqrt(3)
= 0.
Ini salah, karena E jelas memiliki jarak ke bidang AFH.

Mari kita periksa kembali koordinatnya.
Jika A=(0,0,0), maka:
B=(6,0,0), C=(6,6,0), D=(0,6,0)
E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6)

Bidang AFH melalui A(0,0,0), F(6,0,6), H(0,6,6).
Persamaan bidang Ax + By + Cz = 0.
Substitusikan F: 6A + 6C = 0 => A = -C.
Substitusikan H: 6B + 6C = 0 => B = -C.
Maka A = B = -C.
Misal C = -1, maka A = 1, B = 1.
Persamaan bidang AFH adalah x + y - z = 0.

Titik E adalah (0,0,6).
Jarak dari E(0,0,6) ke bidang x + y - z = 0 adalah:
|1*(0) + 1*(0) - 1*(6) + 0| / sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2)
= |0 + 0 - 6| / sqrt(1 + 1 + 1)
= |-6| / sqrt(3)
= 6 / sqrt(3)
= 6 * sqrt(3) / 3
= 2 * sqrt(3).

Jadi, jarak titik E ke bidang AFH adalah 2 * akar(3) cm.