Nilai dari lim x->0 (sin 2x.tan x+tan 2x.sin x)/(sin x.tan

4

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit $\\lim_{x 	o 0} \frac{\\sin 2x \\tan x + \\tan 2x \\sin x}{\\sin x \\tan x}$, kita dapat membagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan x. Atau, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0.

Cara 1: Menggunakan identitas trigonometri dan limit:
Ingat bahwa $\\lim_{x 	o 0} \frac{\\sin ax}{ax} = 1$ dan $\\lim_{x 	o 0} \frac{\\tan ax}{ax} = 1$.
Kita ubah soalnya menjadi:
\\$\\lim_{x 	o 0} \frac{\\frac{\\sin 2x}{x} \\frac{\\tan x}{x} + \\frac{\\tan 2x}{x} \\frac{\\sin x}{x}}{\\frac{\\sin x}{x} \\frac{\\tan x}{x}}$
Ini belum tepat karena kita membagi dengan $x^2$ di pembilang dan penyebut. Mari kita modifikasi:
\\$\\lim_{x 	o 0} \frac{\\frac{\\sin 2x}{x} \\tan x + \\frac{\\tan 2x}{x} \\sin x}{\\sin x \\tan x}$
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
\\$\\lim_{x 	o 0} \frac{\\frac{\\sin 2x}{x} \\frac{\\tan x}{x} + \\frac{\\tan 2x}{x} \\frac{\\sin x}{x}}{\\frac{\\sin x}{x} \\frac{\\tan x}{x}}$
Ini masih salah karena pembagian harusnya lebih sistematis.
Mari kita bagi pembilang dan penyebut dengan x:
\\$\\lim_{x 	o 0} \frac{\\frac{\\sin 2x \\tan x}{x} + \\frac{\\tan 2x \\sin x}{x}}{\\frac{\\sin x \\tan x}{x}}$
Ini juga belum tepat. Cara yang benar adalah membagi setiap suku dengan pangkat x tertinggi di penyebut, yaitu $x^2$:
\\$\\lim_{x 	o 0} \frac{\\frac{\\sin 2x}{x} \\frac{\\tan x}{x} + \\frac{\\tan 2x}{x} \\frac{\\sin x}{x}}{\\frac{\\sin x}{x} \\frac{\\tan x}{x}}$
Gunakan $\\lim_{x 	o 0} \frac{\\sin ax}{x} = a$ dan $\\lim_{x 	o 0} \frac{\\tan ax}{x} = a$:
Pembilang menjadi: $(2)(1) + (2)(1) = 2 + 2 = 4$
Penyebut menjadi: $(1)(1) = 1$
Jadi, limitnya adalah 4/1 = 4.

Cara 2: Menggunakan Aturan L'Hopital:
Karena substitusi x=0 menghasilkan bentuk $\\frac{0}{0}$, kita bisa gunakan aturan L'Hopital.
Turunan dari pembilang: $\\frac{d}{dx}(\\sin 2x \\tan x + \\tan 2x \\sin x) = (2\\cos 2x \\tan x + \\sin 2x \\sec^2 x) + (2\\sec^2 2x \\sin x + \\tan 2x \\cos x)$
Turunan dari penyebut: $\\frac{d}{dx}(\\sin x \\tan x) = \\cos x \\tan x + \\sin x \\sec^2 x$
Substitusi x=0:
Pembilang: $(2\\cos 0 \\tan 0 + \\sin 0 \\sec^2 0) + (2\\sec^2 0 \\sin 0 + \\tan 0 \\cos 0) = (2*1*0 + 0*1) + (2*1*0 + 0*1) = 0$
Penyebut: $\\cos 0 \\tan 0 + \\sin 0 \\sec^2 0 = 1*0 + 0*1 = 0$
Masih 0/0. Mari kita coba menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu sebelum L'Hopital.
\\$\\frac{\\sin 2x \\tan x + \\tan 2x \\sin x}{\\sin x \\tan x} = \\frac{2 \\sin x \\cos x \\frac{\\sin x}{\\cos x} + \\frac{\\sin 2x}{\\cos 2x} \\sin x}{\\sin x \\frac{\\sin x}{\\cos x}}$
\\$\\ = \\frac{2 \\sin^2 x + \\frac{2 \\sin x \\cos x}{\\cos 2x} \\sin x}{\\frac{\\sin^2 x}{\\cos x}}$
Ini menjadi rumit. Cara paling mudah adalah membagi pembilang dan penyebut dengan $x^2$ dan menggunakan limit $\\lim_{x 	o 0} \frac{\\sin ax}{x} = a$ dan $\\lim_{x 	o 0} \frac{\\tan ax}{x} = a$.
\\$\\lim_{x 	o 0} \frac{\\frac{\\sin 2x}{x} \\frac{\\tan x}{x} + \\frac{\\tan 2x}{x} \\frac{\\sin x}{x}}{\\frac{\\sin x}{x} \\frac{\\tan x}{x}} = \\frac{(2)(1) + (2)(1)}{(1)(1)} = \\frac{2+2}{1} = 4$.