Nilai limit x mendekati tak hingga (cos3x)/(6x)=....

0

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $\\lim_{x 	o \\infty} \frac{\\cos 3x}{6x}$, kita perlu menganalisis perilaku fungsi saat x mendekati tak hingga.

Kita tahu bahwa nilai dari $\\cos 3x$ akan selalu berada di antara -1 dan 1, yaitu: $-1 \\le \\cos 3x \\le 1$.

Sekarang, mari kita bagi pertidaksamaan ini dengan 6x. Karena x mendekati tak hingga, maka 6x akan bernilai positif, sehingga arah pertidaksamaan tetap sama:
\\$\\\frac{-1}{6x} \\le \\frac{\\cos 3x}{6x} \\le \\frac{1}{6x}$

Selanjutnya, kita cari nilai limit dari batas bawah dan batas atas saat x mendekati tak hingga:
\\$\\\lim_{x 	o \\infty} \\frac{-1}{6x}$
Ketika x menjadi sangat besar (mendekati tak hingga), pembilangnya adalah konstanta (-1) dan penyebutnya menjadi sangat besar. Oleh karena itu, nilai limitnya adalah 0.
\\$\\\lim_{x 	o \\infty} \\frac{-1}{6x} = 0$

Sekarang, kita cari limit dari batas atas:
\\$\\\lim_{x 	o \\infty} \\frac{1}{6x}$
Sama seperti sebelumnya, ketika x menjadi sangat besar, pembilangnya adalah konstanta (1) dan penyebutnya menjadi sangat besar. Oleh karena itu, nilai limitnya juga adalah 0.
\\$\\\lim_{x 	o \\infty} \\frac{1}{6x} = 0$

Karena nilai dari $\\frac{\\cos 3x}{6x}$ diapit oleh dua fungsi yang memiliki limit yang sama yaitu 0 (berdasarkan Teorema Apit/Sandwich Theorem), maka nilai limit dari $\\frac{\\cos 3x}{6x}$ saat x mendekati tak hingga juga adalah 0.

Jadi, $\\lim_{x 	o \\infty} \frac{\\cos 3x}{6x} = 0$.