Nilai dari lim x->-2 (2x^2+7x+6)/(3x^2+7x+2) adalah ...

1/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi langsung terlebih dahulu. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (0/0), kita akan menggunakan metode faktorisasi atau aturan L'Hopital.

Soal: lim x→-2 (2x^2 + 7x + 6) / (3x^2 + 7x + 2)

Substitusi x = -2 ke dalam pembilang:
2(-2)^2 + 7(-2) + 6 = 2(4) - 14 + 6 = 8 - 14 + 6 = 0.

Substitusi x = -2 ke dalam penyebut:
3(-2)^2 + 7(-2) + 2 = 3(4) - 14 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0.

Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan faktorisasi.

Faktorisasi pembilang (2x^2 + 7x + 6):
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 2*6=12 dan jika dijumlahkan menghasilkan 7. Bilangan tersebut adalah 3 dan 4.
2x^2 + 3x + 4x + 6
x(2x + 3) + 2(2x + 3)
(x + 2)(2x + 3).

Faktorisasi penyebut (3x^2 + 7x + 2):
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 3*2=6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 7. Bilangan tersebut adalah 1 dan 6.
3x^2 + x + 6x + 2
x(3x + 1) + 2(3x + 1)
(x + 2)(3x + 1).

Sekarang substitusikan hasil faktorisasi kembali ke dalam limit:
lim x→-2 [(x + 2)(2x + 3)] / [(x + 2)(3x + 1)]

Kita bisa membatalkan faktor (x + 2) karena x mendekati -2, bukan sama dengan -2:
lim x→-2 (2x + 3) / (3x + 1).

Sekarang, substitusi kembali x = -2:
(2(-2) + 3) / (3(-2) + 1)
(-4 + 3) / (-6 + 1)
-1 / -5
1/5.

Jadi, nilai dari lim x→-2 (2x^2+7x+6)/(3x^2+7x+2) adalah 1/5.