Nilai dari lim x mendekati tak hingga (4x.sin^2(2/x))/tan

8

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $\lim_{x \to \infty} \frac{4x \sin^2(2/x)}{\tan(2/x)}$, kita bisa menggunakan substitusi dan sifat limit. 
Misalkan $y = 2/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$. 
Dengan substitusi ini, $\sin(2/x)$ menjadi $\sin y$ dan $\tan(2/x)$ menjadi $\tan y$. Juga, $x = 2/y$. 
Sehingga, limitnya menjadi $\lim_{y \to 0} \frac{4(2/y) \sin^2 y}{\tan y}$. 
Kita bisa menulis ulang ini sebagai $\lim_{y \to 0} \frac{8}{y} \frac{\sin^2 y}{\tan y}$. 
Kita tahu bahwa $\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}$. Maka, $\frac{\sin^2 y}{\tan y} = \frac{\sin^2 y}{\sin y / \cos y} = \sin y \cos y$. 
Limitnya menjadi $\lim_{y \to 0} \frac{8}{y} (\sin y \cos y)$. 
Kita bisa kelompokkan suku-suku yang dikenal dalam limit: $\lim_{y \to 0} 8 \left(\frac{\sin y}{y}\right) \cos y$. 
Kita tahu bahwa $\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ dan $\lim_{y \to 0} \cos y = 1$. 
Maka, limitnya adalah $8 \times 1 \times 1 = 8$. 
Jadi, nilai dari $\lim_{x \to \infty} \frac{4x \sin^2(2/x)}{\tan(2/x)}$ adalah 8.