Nilai dari limit x->0 (x tan 5x)/(cos 2x.cos 7x) adalah

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to0} \frac{x \tan 5x}{\cos 2x \cdot \cos 7x}$, kita dapat menggunakan sifat-sifat limit dan identitas trigonometri. Pertama, kita substitusikan $x=0$ ke dalam fungsi: $\frac{0 \cdot \tan(5 \cdot 0)}{\cos(2 \cdot 0) \cdot \cos(7 \cdot 0)} = \frac{0 \cdot 0}{1 \cdot 1} = 0$. Namun, ini adalah bentuk tak tentu jika pembilang juga menjadi nol. Dalam kasus ini, pembilang adalah $x \tan 5x$. Ketika $x \to 0$, $\tan 5x \approx 5x$. Jadi, pembilangnya $\approx x(5x) = 5x^2$. Penyebutnya adalah $\cos 2x \cdot \cos 7x$. Ketika $x \to 0$, $\cos 2x \to \cos 0 = 1$ dan $\cos 7x \to \cos 0 = 1$. Sehingga penyebutnya $\to 1 \cdot 1 = 1$. Maka, limitnya adalah $\lim_{x\to0} \frac{5x^2}{1} = 0$. Namun, jika kita melihat soal asli, seharusnya ada kesalahan dalam penulisan soal atau jawaban yang diharapkan. Jika kita menganggap bentuknya adalah $\frac{x}{\tan 5x}$, maka limitnya adalah $1/5$. Mari kita asumsikan bentuknya adalah $\frac{x}{\tan 5x}$ dan penyebutnya adalah $\cos 2x \cdot \cos 7x$. Maka limitnya menjadi $\lim_{x\to0} \frac{x}{\tan 5x} \cdot \frac{1}{\cos 2x \cdot \cos 7x} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 \cdot 1} = \frac{1}{5}$. Jika bentuk soal sudah benar, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital jika ada bentuk 0/0 atau tak hingga/tak hingga. Namun, substitusi langsung memberikan 0/1 = 0. Mari kita revisi dengan pendekatan lain: $\lim_{x\to0} \frac{x}{\cos 2x} \cdot \frac{\tan 5x}{\cos 7x}$. Ini tidak membantu. Mari kita gunakan $\tan 5x = \frac{\sin 5x}{\cos 5x}$. Maka limitnya menjadi $\lim_{x\to0} \frac{x \sin 5x}{\cos 5x \cos 2x \cos 7x}$. Kita tahu bahwa $\lim_{x\to0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{x\to0} \frac{ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}$. Mari kita ubah bentuknya: $\lim_{x\to0} \frac{x}{\cos 2x \cos 7x} \cdot \frac{\tan 5x}{1}$. Kita bisa tulis ulang sebagai $\lim_{x\to0} \frac{x}{1} \cdot \frac{\tan 5x}{1} \cdot \frac{1}{\cos 2x \cos 7x}$. Agar bentuknya menuju $\frac{\tan ax}{bx}$, kita kalikan dan bagi dengan $5x$: $\lim_{x\to0} \frac{5x}{5x} \frac{x \tan 5x}{\cos 2x \cos 7x} = \lim_{x\to0} \frac{\tan 5x}{5x} \cdot \frac{5x^2}{\cos 2x \cos 7x}$. Kita tahu $\lim_{x\to0} \frac{\tan 5x}{5x} = 1$. Jadi limitnya menjadi $\lim_{x\to0} 1 \cdot \frac{5x^2}{\cos 2x \cos 7x} = \frac{5(0)^2}{1 \cdot 1} = 0$. Kesimpulan, berdasarkan substitusi langsung dan analisis dengan bentuk $\frac{\tan ax}{bx}$, nilai limitnya adalah 0.