Nilai dari limit x->2 ((x-2) cos (phix-2phi))/(tan

1/(2π)

Pembahasan

Soal ini adalah tentang limit fungsi trigonometri.

Kita perlu mencari nilai dari:
lim (x→2) [((x-2) cos (πx - 2π)) / (tan (2πx - 4π))]

Langkah 1: Sederhanakan argumen fungsi cosinus dan tangen.
cos(πx - 2π) = cos(-(2π - πx)) = cos(2π - πx). Karena cosinus memiliki periode 2π, cos(2π - θ) = cos(θ). Jadi, cos(2π - πx) = cos(πx).
Namun, lebih mudah menggunakan identitas cos(A - 2π) = cos(A). Jadi, cos(πx - 2π) = cos(πx).

tan(2πx - 4π) = tan(2(πx - 2π)). Karena tangen memiliki periode π, tan(θ - 2π) = tan(θ). Jadi, tan(2πx - 4π) = tan(2πx).

Ekspresi menjadi:
lim (x→2) [((x-2) cos (πx)) / (tan (2πx))]

Langkah 2: Substitusikan x = 2 ke dalam ekspresi untuk melihat apakah kita mendapatkan bentuk tak tentu.
(2-2) cos(2π) / tan(4π) = 0 * 1 / 0 = 0/0. Ini adalah bentuk tak tentu, jadi kita perlu menggunakan metode lain, seperti aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar.

Mari kita gunakan manipulasi aljabar.
Kita tahu tan(θ) = sin(θ) / cos(θ).
Jadi, tan(2πx) = sin(2πx) / cos(2πx).

Ekspresi menjadi:
lim (x→2) [((x-2) cos (πx)) / (sin (2πx) / cos (2πx))]
lim (x→2) [((x-2) cos (πx) cos (2πx)) / sin (2πx)]

Kita tahu bahwa cos(2πx) = cos(-2πx) = cos(2π(x)).
dan sin(2πx) = sin(2π(x)).

Mari kita coba substitusi y = x - 2. Maka x = y + 2.
Ketika x → 2, maka y → 0.

cos(πx) = cos(π(y+2)) = cos(πy + 2π) = cos(πy)
cos(2πx) = cos(2π(y+2)) = cos(2πy + 4π) = cos(2πy)
sin(2πx) = sin(2π(y+2)) = sin(2πy + 4π) = sin(2πy)

Ekspresi menjadi:
lim (y→0) [(y * cos(πy) * cos(2πy)) / sin(2πy)]

Kita tahu bahwa lim (θ→0) sin(θ)/θ = 1 dan lim (θ→0) cos(θ) = 1.
Kita bisa menulis ulang ekspresi:
lim (y→0) [y/sin(2πy)] * cos(πy) * cos(2πy)

lim (y→0) [y / (sin(2πy) / (2πy) * 2πy)] * cos(πy) * cos(2πy)

lim (y→0) [ (y / (2πy)) * (1 / (sin(2πy) / (2πy))) ] * cos(πy) * cos(2πy)

lim (y→0) [ (1 / 2π) * (1 / 1) ] * 1 * 1

(1 / 2π) * 1 * 1 = 1 / 2π

Jadi, nilai limitnya adalah 1/(2π).