Nilai dari limit x mendekati 2 (x-2)cos(pi x-2pi)/(tan(2pi

Nilai limitnya adalah 1/(2pi).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit \(\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)\cos(\pi x-2\pi)}{\tan(2\pi x-4\pi)}\), kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusi \(x=2\) akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Pertama, kita perlu mencari turunan dari pembilang dan penyebut.
Turunan pembilang \((x-2)\cos(\pi x-2\pi)\):
Menggunakan aturan perkalian: \((1) \cdot \cos(\pi x-2\pi) + (x-2) \cdot (-\sin(\pi x-2\pi) \cdot \pi)\)
\(= \cos(\pi x-2\pi) - \pi(x-2)\sin(\pi x-2\pi)\)

Turunan penyebut \(\tan(2\pi x-4\pi)\):
Menggunakan aturan rantai: \(\sec^2(2\pi x-4\pi) \cdot (2\pi)\)
\(= 2\pi \sec^2(2\pi x-4\pi)\)

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital dengan membagi turunan pembilang dengan turunan penyebut:
\(\lim_{x\to 2} \frac{\cos(\pi x-2\pi) - \pi(x-2)\sin(\pi x-2\pi)}{2\pi \sec^2(2\pi x-4\pi)}\)

Substitusikan \(x=2\) ke dalam ekspresi tersebut:
Pembilang: \(\cos(\pi(2)-2\pi) - \pi(2-2)\sin(\pi(2)-2\pi) = \cos(0) - \pi(0)\sin(0) = 1 - 0 = 1\)

Penyebut: \(2\pi \sec^2(2\pi(2)-4\pi) = 2\pi \sec^2(4\pi-4\pi) = 2\pi \sec^2(0)\)
Karena \(\sec(0) = 1\), maka penyebutnya adalah \(2\pi (1)^2 = 2\pi\).

Jadi, hasil limitnya adalah \(\frac{1}{2\pi}\).