Nilai dari limit x mendekati tak hingga (akar(4x^2-8x-4) -

-6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan manipulasi aljabar untuk menghilangkan bentuk tak tentu. Limit yang diberikan adalah:
limit x→∞ (akar(4x^2-8x-4) - 2x - 4)

Pertama, kita bisa kelompokkan suku -2x dan -4:
limit x→∞ (akar(4x^2-8x-4) - (2x + 4))

Selanjutnya, kita kalikan dengan bentuk sekawan dari ekspresi tersebut untuk merasionalkan:
Bentuk sekawan dari (akar(4x^2-8x-4) - (2x + 4)) adalah (akar(4x^2-8x-4) + (2x + 4)).

limit x→∞ [ (akar(4x^2-8x-4) - (2x + 4)) * (akar(4x^2-8x-4) + (2x + 4)) ] / [ akar(4x^2-8x-4) + (2x + 4) ]

Menggunakan rumus (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 pada pembilang:
limit x→∞ [ (4x^2 - 8x - 4) - (2x + 4)^2 ] / [ akar(4x^2-8x-4) + (2x + 4) ]

Jabarkan kuadrat di pembilang:
limit x→∞ [ (4x^2 - 8x - 4) - (4x^2 + 16x + 16) ] / [ akar(4x^2-8x-4) + (2x + 4) ]

Sederhanakan pembilang:
limit x→∞ [ 4x^2 - 8x - 4 - 4x^2 - 16x - 16 ] / [ akar(4x^2-8x-4) + (2x + 4) ]
limit x→∞ [ -24x - 20 ] / [ akar(4x^2-8x-4) + (2x + 4) ]

Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x (karena akar(x^2) = x untuk x positif):
limit x→∞ [ -24x/x - 20/x ] / [ akar(4x^2/x^2 - 8x/x^2 - 4/x^2) + (2x/x + 4/x) ]
limit x→∞ [ -24 - 20/x ] / [ akar(4 - 8/x - 4/x^2) + (2 + 4/x) ]

Saat x mendekati tak hingga, suku-suku dengan 1/x atau 1/x^2 akan mendekati 0:
limit x→∞ [ -24 - 0 ] / [ akar(4 - 0 - 0) + (2 + 0) ]
= -24 / (akar(4) + 2)
= -24 / (2 + 2)
= -24 / 4
= -6

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -6.