Tentukan semua nilai yang memenuhi X pertidaksamaan

Jika basis log = 10, maka x > 98. Jika basis log = 1/2, maka -2 < x < -3/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma 1/2 log(x + 2) > 1, kita perlu mengingat sifat-sifat logaritma dan menyelesaikan pertidaksamaan tersebut.
Langkah 1: Ubah bentuk pertidaksamaan agar basis logaritma sama.
Kita tahu bahwa 1 = log(10) (jika basis logaritma adalah 10) atau 1 = log(b) (jika basis logaritma adalah b).
Dalam soal ini, basis logaritma adalah 1/2. Maka, kita ubah 1 menjadi bentuk logaritma dengan basis 1/2:
1 = log_{1/2}(1/2)
Pertidaksamaan menjadi: 1/2 log(x + 2) > log_{1/2}(1/2)
Namun, jika yang dimaksud adalah \frac{1}{2} \times \log(x+2) > 1, maka kita bisa mengalikannya dengan 2:
log(x + 2) > 2
Jika basis logaritma adalah 10 (umumnya jika tidak ditulis), maka:
log_{10}(x + 2) > 2
Untuk menyelesaikan ini, kita ubah 2 menjadi logaritma basis 10:
2 = log_{10}(10^2) = log_{10}(100)
Maka pertidaksamaan menjadi:
log_{10}(x + 2) > log_{10}(100)
Karena basis logaritma (10) lebih besar dari 1, arah pertidaksamaan tetap sama:
x + 2 > 100
x > 100 - 2
x > 98

Selain itu, kita harus memperhatikan domain dari logaritma, yaitu argumennya harus positif:
x + 2 > 0
x > -2

Menggabungkan kedua kondisi (x > 98 dan x > -2), maka solusi yang memenuhi adalah x > 98.

Jika yang dimaksud adalah $\log_{\frac{1}{2}}(x+2) > 1$, maka:
Argument logaritma harus positif: $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
Karena basis logaritma $\frac{1}{2}$ kurang dari 1, maka ketika kita menghilangkan logaritma, arah pertidaksamaan berbalik:
$x+2 < (\frac{1}{2})^1$
$x+2 < \frac{1}{2}$
$x < \frac{1}{2} - 2$
$x < \frac{1}{2} - \frac{4}{2}$
$x < -\frac{3}{2}$

Menggabungkan kedua kondisi ($x > -2$ dan $x < -\frac{3}{2}$), maka solusi yang memenuhi adalah $-2 < x < -\frac{3}{2}$.