Nilai f^(2) dari fungsi f(x) yang ditentukan oleh

f''(x) = -4(x^3 - 3x^2 - 3x + 1) / (x^2 - x + 2)^3

Pembahasan

Untuk mencari nilai f^(2) dari fungsi f(x) = (x^2-3x+4)/(x^2-x+2), kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut.

Langkah 1: Cari turunan pertama, f'(x).
Kita gunakan aturan kuosien: jika f(x) = u(x)/v(x), maka f'(x) = (u'v - uv') / v^2.
Misalkan u = x^2 - 3x + 4, maka u' = 2x - 3.
Misalkan v = x^2 - x + 2, maka v' = 2x - 1.

f'(x) = ((2x - 3)(x^2 - x + 2) - (x^2 - 3x + 4)(2x - 1)) / (x^2 - x + 2)^2

Mari kita ekspansi pembilangnya:
(2x^3 - 2x^2 + 4x - 3x^2 + 3x - 6) - (2x^3 - x^2 - 6x^2 + 3x + 8x - 4)
(2x^3 - 5x^2 + 7x - 6) - (2x^3 - 7x^2 + 11x - 4)
2x^3 - 5x^2 + 7x - 6 - 2x^3 + 7x^2 - 11x + 4
= 2x^2 - 4x - 2

Jadi, f'(x) = (2x^2 - 4x - 2) / (x^2 - x + 2)^2

Langkah 2: Cari turunan kedua, f''(x).
Kita gunakan lagi aturan kuosien pada f'(x).
Misalkan U = 2x^2 - 4x - 2, maka U' = 4x - 4.
Misalkan V = (x^2 - x + 2)^2, maka V' = 2(x^2 - x + 2)(2x - 1).

f''(x) = (U'V - UV') / V^2

f''(x) = ((4x - 4)(x^2 - x + 2)^2 - (2x^2 - 4x - 2) * 2(x^2 - x + 2)(2x - 1)) / ((x^2 - x + 2)^2)^2

Kita bisa menyederhanakan dengan mengeluarkan faktor (x^2 - x + 2) dari pembilang:

f''(x) = (x^2 - x + 2) [ (4x - 4)(x^2 - x + 2) - 2(2x^2 - 4x - 2)(2x - 1) ] / (x^2 - x + 2)^4

f''(x) = [ (4x - 4)(x^2 - x + 2) - 2(2x^2 - 4x - 2)(2x - 1) ] / (x^2 - x + 2)^3

Mari kita ekspansi bagian dalam kurung siku:
Bagian 1: (4x - 4)(x^2 - x + 2) = 4x^3 - 4x^2 + 8x - 4x^2 + 4x - 8 = 4x^3 - 8x^2 + 12x - 8

Bagian 2: 2(2x^2 - 4x - 2)(2x - 1)
= 2 [ (4x^3 - 2x^2 - 8x^2 + 4x - 4x + 2) ]
= 2 [ 4x^3 - 10x^2 - 2 ]
= 8x^3 - 20x^2 - 4

Sekarang kurangkan Bagian 2 dari Bagian 1:
(4x^3 - 8x^2 + 12x - 8) - (8x^3 - 20x^2 - 4)
= 4x^3 - 8x^2 + 12x - 8 - 8x^3 + 20x^2 + 4
= -4x^3 + 12x^2 + 12x - 4

Jadi, f''(x) = (-4x^3 + 12x^2 + 12x - 4) / (x^2 - x + 2)^3

Kita bisa mengeluarkan -4 dari pembilang:

f''(x) = -4(x^3 - 3x^2 - 3x + 1) / (x^2 - x + 2)^3

Nilai f^(2) dari fungsi f(x) adalah turunan kedua dari f(x), yaitu f''(x) = -4(x^3 - 3x^2 - 3x + 1) / (x^2 - x + 2)^3.