Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

Nilai Iim x-> tak hingga (akar(5x+1)-akar(3x+7))=

Pertanyaan

Tentukan nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7})$

Solusi

Verified

Nilai limitnya adalah $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7})$, kita akan mengalikan dengan bentuk sekawan dari ekspresi tersebut untuk menghilangkan bentuk tak tentu $\infty - \infty$. Bentuk sekawan dari $(\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7})$ adalah $(\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7})$. $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7})$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7})(\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7})}{(\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7})}$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{(5x+1) - (3x+7)}{(\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7})}$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{5x+1 - 3x - 7}{(\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7})}$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 6}{(\sqrt{5x+1} + \sqrt{3x+7})}$ Selanjutnya, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu $\sqrt{x}$ atau $x^{1/2}$. Namun, lebih tepatnya kita bagi dengan x di pembilang dan $\sqrt{x}$ di dalam akar penyebut. $= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x} - \frac{6}{x}}{(\sqrt{\frac{5x}{x} + \frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{3x}{x} + \frac{7}{x}})}$ $= \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{6}{x}}{(\sqrt{5 + \frac{1}{x}} + \sqrt{3 + \frac{7}{x}})}$ Ketika $x \to \infty$, suku-suku yang memiliki $\frac{1}{x}$ atau $\frac{c}{x}$ akan menuju 0. $= \frac{2 - 0}{(\sqrt{5 + 0} + \sqrt{3 + 0})}$ $= \frac{2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$ Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan bentuk sekawannya: $= \frac{2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})} \times \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$ $= \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$ $= \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3}$ $= \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$ $= \sqrt{5} - \sqrt{3}$. Jadi, nilai $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{5x+1} - \sqrt{3x+7}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi Di Tak Hingga
Section: Limit Fungsi Aljabar Di Tak Hingga

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...