Nilai integral -4 0 (4x/((16-x^2)^1/2) dx=....

-16

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari -4 hingga 0 dari fungsi 4x/((16-x^2)^1/2) dx, kita dapat menggunakan metode substitusi. Misalkan u = 16 - x^2, maka du = -2x dx. Dengan mengubah batas integral, ketika x = -4, u = 16 - (-4)^2 = 0. Ketika x = 0, u = 16 - 0^2 = 16. Integral menjadi integral dari 0 hingga 16 dari (4x/u^1/2) * (du/(-2x)) = integral dari 0 hingga 16 dari -2/u^1/2 du. Mengintegralkan -2u^(-1/2) memberikan -4u^(1/2). Evaluasi dari 0 hingga 16: [-4(16)^(1/2)] - [-4(0)^(1/2)] = -4(4) - 0 = -16. Namun, ada kesalahan dalam penjabaran awal. Integral dari -4 ke 0 dari 4x/(16-x^2)^(1/2) dx, dengan substitusi u = 16-x^2, du = -2x dx. Batas baru: x=-4 -> u=0, x=0 -> u=16. Integral menjadi: integral dari 0 ke 16 dari 4x/u^(1/2) * (du/(-2x)) = integral dari 0 ke 16 dari -2u^(-1/2) du. Hasilnya adalah [-2 * 2 * u^(1/2)] dari 0 ke 16 = [-4 * sqrt(16)] - [-4 * sqrt(0)] = -4 * 4 - 0 = -16. Terdapat kesalahan pada batas integral saat substitusi dilakukan, karena batas bawah x=-4 menyebabkan u=0, yang membuat fungsi tak terdefinisi di batas bawah integral yang baru. Seharusnya menggunakan substitusi yang berbeda atau mengevaluasi integral tak tentu terlebih dahulu. Mari kita evaluasi integral tak tentu: Integral dari 4x/(16-x^2)^(1/2) dx. Dengan substitusi u = 16-x^2, du = -2x dx, maka x dx = -du/2. Integral menjadi Integral dari 4 * (-du/2) / u^(1/2) = Integral dari -2u^(-1/2) du = -2 * (2u^(1/2)) + C = -4(16-x^2)^(1/2) + C. Sekarang evaluasi dengan batas -4 dan 0: [-4(16-0^2)^(1/2)] - [-4(16-(-4)^2)^(1/2)] = [-4(16)^(1/2)] - [-4(16-16)^(1/2)] = [-4(4)] - [-4(0)] = -16 - 0 = -16. Terdapat masalah dengan definisi integral pada batas bawah. Fungsi integran memiliki asimtot tegak pada x=-4 dan x=4. Integral ini merupakan integral tak wajar. Kita perlu mengevaluasi limit: lim(a->-4+) integral dari a ke 0 dari 4x/(16-x^2)^(1/2) dx. Menggunakan hasil integral tak tentu: lim(a->-4+) [-4(16-x^2)^(1/2)] dari a ke 0 = lim(a->-4+) [-4(16-0^2)^(1/2) - (-4(16-a^2)^(1/2))] = lim(a->-4+) [-16 + 4(16-a^2)^(1/2)]. Saat a mendekati -4, a^2 mendekati 16. Maka (16-a^2) mendekati 0. Hasilnya adalah -16 + 4(0) = -16.