himpunan penyelesaian dari persamaan berikut untuk

Himpunan penyelesaian: a. {pi/12, 13pi/12}, b. {pi/12, 11pi/12, 13pi/12}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan a sin(2x+pi/3)=sin pi/2, kita perlu mencari nilai x dalam rentang 0 <= x < 2pi.
Diketahui sin(pi/2) = 1, sehingga sin(2x+pi/3) = 1.
Nilai sudut yang memiliki sinus 1 adalah pi/2 dan 5pi/2 (dalam satu putaran).
Jadi, 2x + pi/3 = pi/2 + 2k*pi atau 2x + pi/3 = 5pi/2 + 2k*pi, dengan k adalah bilangan bulat.

Kasus 1: 2x + pi/3 = pi/2 + 2k*pi
2x = pi/2 - pi/3 + 2k*pi
2x = pi/6 + 2k*pi
x = pi/12 + k*pi
Jika k=0, x = pi/12
Jika k=1, x = pi/12 + pi = 13pi/12

Kasus 2: 2x + pi/3 = 5pi/2 + 2k*pi
2x = 5pi/2 - pi/3 + 2k*pi
2x = 15pi/6 - 2pi/6 + 2k*pi
2x = 13pi/6 + 2k*pi
x = 13pi/12 + k*pi
Jika k=0, x = 13pi/12
Jika k=1, x = 13pi/12 + pi = 25pi/12 (di luar rentang)

Himpunan penyelesaian untuk a adalah {pi/12, 13pi/12}.

Untuk menyelesaikan persamaan b. cos 2x = cos pi/6, kita perlu mencari nilai x dalam rentang 0 <= x < 2pi.
Nilai sudut yang memiliki kosinus sama dengan cos(pi/6) adalah pi/6 dan -pi/6 (atau 11pi/6 dalam satu putaran).
Jadi, 2x = pi/6 + 2k*pi atau 2x = -pi/6 + 2k*pi, dengan k adalah bilangan bulat.

Kasus 1: 2x = pi/6 + 2k*pi
x = pi/12 + k*pi
Jika k=0, x = pi/12
Jika k=1, x = pi/12 + pi = 13pi/12

Kasus 2: 2x = -pi/6 + 2k*pi
x = -pi/12 + k*pi
Jika k=1, x = -pi/12 + pi = 11pi/12
Jika k=2, x = -pi/12 + 2pi = 23pi/12 (di luar rentang)

Himpunan penyelesaian untuk b adalah {pi/12, 11pi/12, 13pi/12}.

Himpunan penyelesaian gabungan adalah {pi/12, 11pi/12, 13pi/12}.