Tentukanlah daerah penyelesaian untuk sistem

Daerah penyelesaian adalah irisan dari ketiga daerah, dibatasi oleh garis 5x+y=10, 2x+y=8, dan y=2, dengan titik sudut (8/5, 2), (3, 2), dan (2/3, 20/3).

Pembahasan

Untuk menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + y >= 10, 2x + y <= 8, dan y >= 2, kita perlu menggambar ketiga pertidaksamaan tersebut pada sistem koordinat Kartesius.

1.  **Pertidaksamaan 5x + y >= 10:**
    *   Garis batas: 5x + y = 10. Titik potong dengan sumbu x (y=0): 5x = 10 => x = 2. Titik (2, 0).
    *   Titik potong dengan sumbu y (x=0): y = 10. Titik (0, 10).
    *   Uji titik (0,0): 5(0) + 0 >= 10 => 0 >= 10 (Salah). Jadi, daerah penyelesaiannya menjauhi titik (0,0).

2.  **Pertidaksamaan 2x + y <= 8:**
    *   Garis batas: 2x + y = 8. Titik potong dengan sumbu x (y=0): 2x = 8 => x = 4. Titik (4, 0).
    *   Titik potong dengan sumbu y (x=0): y = 8. Titik (0, 8).
    *   Uji titik (0,0): 2(0) + 0 <= 8 => 0 <= 8 (Benar). Jadi, daerah penyelesaiannya mendekati titik (0,0).

3.  **Pertidaksamaan y >= 2:**
    *   Garis batas: y = 2. Ini adalah garis horizontal yang memotong sumbu y di titik (0, 2).
    *   Karena y >= 2, daerah penyelesaiannya berada di atas garis y = 2.

**Daerah Penyelesaian:**
Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ini adalah irisan dari ketiga daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan. Ini akan menjadi daerah yang dibatasi oleh garis-garis 5x + y = 10, 2x + y = 8, dan y = 2, serta berada di atas garis y = 2, di bawah garis 2x + y = 8, dan di atas atau pada garis 5x + y = 10. Untuk menemukan titik-titik sudut daerah penyelesaian, kita perlu mencari titik potong antara garis-garis batas tersebut.

*   Titik potong antara 5x + y = 10 dan y = 2:
    5x + 2 = 10 => 5x = 8 => x = 8/5. Titik: (8/5, 2).

*   Titik potong antara 2x + y = 8 dan y = 2:
    2x + 2 = 8 => 2x = 6 => x = 3. Titik: (3, 2).

*   Titik potong antara 5x + y = 10 dan 2x + y = 8:
    Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
    (5x + y) - (2x + y) = 10 - 8
    3x = 2 => x = 2/3.
    Substitusikan x = 2/3 ke salah satu persamaan, misal 2x + y = 8:
    2(2/3) + y = 8 => 4/3 + y = 8 => y = 8 - 4/3 => y = 24/3 - 4/3 => y = 20/3. Titik: (2/3, 20/3).

Daerah penyelesaian adalah poligon yang dibentuk oleh titik-titik sudut (8/5, 2), (3, 2), dan (2/3, 20/3).