Nilai lim x->0 (1-cos^2(3x))/(x^2 tan(x+pi/3)) = .........

Nilainya adalah 3√3.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit lim x->0 (1-cos^2(3x))/(x^2 tan(x+pi/3)), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dasar yaitu sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1, sehingga 1 - cos^2(3x) = sin^2(3x).
Jadi, limitnya menjadi lim x->0 sin^2(3x) / (x^2 tan(x+pi/3)).
Kita tahu bahwa lim x->0 sin(ax)/ax = 1 dan lim x->0 tan(bx)/bx = 1.
Kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut menjadi: 
lim x->0 [ (sin(3x)/3x)^2 * (3x)^2 ] / [ x^2 * tan(x+pi/3) ]
lim x->0 [ sin^2(3x) / (9x^2) * 9x^2 ] / [ x^2 * tan(x+pi/3) ]
lim x->0 [ 9x^2 * (sin(3x)/3x)^2 ] / [ x^2 * tan(x+pi/3) ]
Karena lim x->0 (sin(3x)/3x) = 1, maka (sin(3x)/3x)^2 = 1.
Jadi, limitnya menjadi lim x->0 9x^2 / (x^2 * tan(x+pi/3))
Kita bisa membatalkan x^2 di pembilang dan penyebut: 
lim x->0 9 / tan(x+pi/3)
Sekarang, kita substitusikan x = 0:
9 / tan(0 + pi/3) = 9 / tan(pi/3)
Nilai tan(pi/3) adalah sqrt(3).
Jadi, limitnya adalah 9 / sqrt(3).
Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan sqrt(3):
(9 * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3)) = 9 * sqrt(3) / 3 = 3 * sqrt(3).

Jadi, nilai lim x->0 (1-cos^2(3x))/(x^2 tan(x+pi/3)) adalah 3√3.