Pada barisan geometri tak hingga positif, jumlah suku

Jumlah tak hingga deret geometri tersebut adalah 2401/24.

Pembahasan

Misalkan barisan geometri tak hingga positif tersebut adalah $u_1, u_2, u_3, 	ext{{...}}$ dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ ($0 < r < 1$ karena tak hingga positif).

Diketahui:
1. $u_1 + u_2 = 49 
   a + ar = 49 
   a(1+r) = 49$ (Persamaan 1)

2. $u_3 + u_4 = 25 
   ar^2 + ar^3 = 25 
   ar^2(1+r) = 25$ (Persamaan 2)

Untuk mencari jumlah tak hingga ($S_{\infty}$), kita perlu mengetahui nilai $a$ dan $r$. Kita bisa membagi Persamaan 2 dengan Persamaan 1:

$\frac{ar^2(1+r)}{a(1+r)} = \frac{25}{49}$
$r^2 = \frac{25}{49}$
$r = \sqrt{\frac{25}{49}}$
$r = \frac{5}{7}$
(Kita ambil nilai positif karena barisan tak hingga positif)

Sekarang, substitusikan nilai $r$ ke Persamaan 1 untuk mencari $a$:
$a(1 + \frac{5}{7}) = 49$
$a(\frac{7}{7} + \frac{5}{7}) = 49$
$a(\frac{12}{7}) = 49$
$a = 49 \times \frac{7}{12}$
$a = \frac{343}{12}$

Jumlah tak hingga dari deret geometri adalah $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$.

$S_{\infty} = \frac{\frac{343}{12}}{1 - \frac{5}{7}}$
$S_{\infty} = \frac{\frac{343}{12}}{\frac{7}{7} - \frac{5}{7}}$
$S_{\infty} = \frac{\frac{343}{12}}{\frac{2}{7}}$
$S_{\infty} = \frac{343}{12} \times \frac{7}{2}$
$S_{\infty} = \frac{2401}{24}$

Jadi, jumlah tak hingga untuk deret geometri tersebut adalah $\frac{2401}{24}$.