Nilai lim x->0 ((1 - cos 2x )/(1 - cos 4x ))

1/4

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari lim x->0 ((1 - cos 2x )/(1 - cos 4x )), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital. Identitas yang relevan adalah: 1 - cos(2θ) = 2 sin^2(θ). Menggunakan identitas ini, kita dapat menulis ulang ekspresi tersebut: (1 - cos 2x) = 2 sin^2(x) dan (1 - cos 4x) = 2 sin^2(2x). Jadi, limitnya menjadi lim x->0 (2 sin^2(x) / 2 sin^2(2x)) = lim x->0 (sin^2(x) / sin^2(2x)). Kita tahu bahwa lim θ->0 (sin θ / θ) = 1. Oleh karena itu, kita bisa memanipulasi ekspresi tersebut: lim x->0 ( (sin x / x)^2 * (x^2 / sin^2(2x)) ). Kita juga tahu bahwa sin(2x) = 2 sin x cos x. Jadi, sin^2(2x) = 4 sin^2(x) cos^2(x). Ekspresi menjadi: lim x->0 (sin^2(x) / (4 sin^2(x) cos^2(x))) = lim x->0 (1 / (4 cos^2(x))). Sekarang, substitusikan x = 0: 1 / (4 cos^2(0)) = 1 / (4 * 1^2) = 1/4.