Nilai lim x -> 0 (1-cos2x)/(2x sin 2x) = ...

Nilai limit adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan metode substitusi atau L'Hopital's Rule jika menghasilkan bentuk tak tentu (0/0 atau tak hingga/tak hingga).

Limit x -> 0 (1-cos2x)/(2x sin 2x)

Mengganti x dengan 0:
Pembilang: 1 - cos(2*0) = 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0
Penyebut: 2*0 * sin(2*0) = 0 * sin(0) = 0 * 0 = 0

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan L'Hopital's Rule.

L'Hopital's Rule menyatakan bahwa jika limit menghasilkan bentuk tak tentu, maka limit tersebut sama dengan limit dari turunan pembilang dibagi dengan turunan penyebut.

Turunan pembilang (1 - cos2x) terhadap x adalah:
d/dx (1 - cos2x) = 0 - (-sin2x * 2) = 2 sin2x

Turunan penyebut (2x sin 2x) terhadap x menggunakan aturan perkalian (u'v + uv'):
Misal u = 2x, v = sin 2x
u' = 2
v' = cos2x * 2 = 2 cos2x

d/dx (2x sin 2x) = (2)(sin 2x) + (2x)(2 cos2x)
= 2 sin 2x + 4x cos2x

Sekarang, kita hitung limit dari hasil turunan:
Limit x -> 0 (2 sin2x) / (2 sin 2x + 4x cos2x)

Mengganti x dengan 0 lagi:
Pembilang: 2 sin(0) = 2 * 0 = 0
Penyebut: 2 sin(0) + 4*0*cos(0) = 2*0 + 0*1 = 0

Masih menghasilkan 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital's Rule lagi.

Turunan pembilang baru (2 sin2x) terhadap x:
d/dx (2 sin2x) = 2 * (cos2x * 2) = 4 cos2x

Turunan penyebut baru (2 sin 2x + 4x cos2x) terhadap x:
d/dx (2 sin 2x) = 2 * (cos2x * 2) = 4 cos2x
d/dx (4x cos2x) = (4)(cos2x) + (4x)(-sin2x * 2) = 4 cos2x - 8x sin2x

Jadi, turunan penyebut baru adalah: 4 cos2x + 4 cos2x - 8x sin2x = 8 cos2x - 8x sin2x

Sekarang, hitung limitnya:
Limit x -> 0 (4 cos2x) / (8 cos2x - 8x sin2x)

Mengganti x dengan 0:
Pembilang: 4 cos(0) = 4 * 1 = 4
Penyebut: 8 cos(0) - 8*0*sin(0) = 8 * 1 - 0 * 0 = 8

Limit = 4 / 8 = 1/2

Alternatif menggunakan identitas trigonometri:
1 - cos2x = 2 sin^2 x
sin 2x = 2 sin x cos x

Limit x -> 0 (2 sin^2 x) / (2x * (2 sin x cos x))
Limit x -> 0 (2 sin^2 x) / (4x sin x cos x)

Cancel satu sin x:
Limit x -> 0 (2 sin x) / (4x cos x)

Pisahkan konstanta dan gunakan limit standar lim (sin x / x) = 1:
Limit x -> 0 (2/4) * (sin x / x) * (1 / cos x)
= (1/2) * lim (sin x / x) * lim (1 / cos x)
= (1/2) * 1 * (1 / cos 0)
= (1/2) * 1 * (1 / 1)
= 1/2