Nilai lim _(x -> 0) ((x+sin x)^(2))/(x^(2)) adalah...

4

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit lim (x->0) ((x+sin x)^2)/(x^2), kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat x mendekati 0.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim (f(x)/g(x)) menghasilkan bentuk tak tentu (0/0 atau ∞/∞), maka limitnya sama dengan lim (f'(x)/g'(x)).

Misalkan f(x) = (x + sin x)^2 dan g(x) = x^2.
Maka, f'(x) = 2(x + sin x) * (1 + cos x).
Dan g'(x) = 2x.

Sekarang kita hitung limit dari f'(x)/g'(x):
lim (x->0) [2(x + sin x)(1 + cos x)] / (2x)
= lim (x->0) [(x + sin x)(1 + cos x)] / x

Ini masih berbentuk 0/0, jadi kita bisa menerapkan Aturan L'Hopital lagi atau memecahnya:
lim (x->0) [(x/x)(1 + cos x)] + lim (x->0) [(sin x / x)(1 + cos x)]

Kita tahu bahwa lim (x->0) sin(x)/x = 1 dan lim (x->0) cos(x) = 1.

Jadi, limitnya menjadi:
(1 * (1 + 1)) + (1 * (1 + 1))
= (1 * 2) + (1 * 2)
= 2 + 2
= 4

Alternatif lain adalah dengan menggunakan ekspansi deret Taylor untuk sin x di sekitar x=0, yaitu sin x = x - x^3/3! + ...
Sehingga, (x + sin x)^2 menjadi (x + x - x^3/6 + ...)^2 = (2x - x^3/6 + ...)^2
= (2x)^2 - 2(2x)(x^3/6) + ...
= 4x^2 - (4x^4)/6 + ...
= 4x^2 - (2x^4)/3 + ...

Maka, ((x + sin x)^2) / (x^2) = (4x^2 - (2x^4)/3 + ...) / (x^2)
= 4 - (2x^2)/3 + ...

Saat x mendekati 0, limitnya adalah 4.