Nilai lim _(x -> (1)/(3)) ((6 x-2) sin (x-(1)/(3)))/(tan

2/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 jika kita substitusikan $x = 1/3$. 

Limitnya adalah: $\lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{(6x-2) \sin(x-\frac{1}{3})}{\tan^2(3x-1)}$

Kita bisa menyederhanakan $(6x-2)$ menjadi $2(3x-1)$.
Limit menjadi: $\lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{2(3x-1) \sin(x-\frac{1}{3})}{\tan^2(3x-1)}$

Kita tahu bahwa $\tan(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}$. Jadi, $\tan^2(3x-1) = \frac{\sin^2(3x-1)}{\cos^2(3x-1)}$.

Substitusikan kembali:
$\lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{2(3x-1) \sin(x-\frac{1}{3})}{\frac{\sin^2(3x-1)}{\cos^2(3x-1)}}$
$= \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{2(3x-1) \sin(x-\frac{1}{3}) \cos^2(3x-1)}{\sin^2(3x-1)}$

Ini masih belum bentuk yang mudah. Mari kita gunakan substitusi $y = x - 1/3$. Maka $3x-1 = 3(x-1/3) = 3y$. Ketika $x \to 1/3$, maka $y \to 0$.

Limit menjadi: $\lim_{y \to 0} \frac{2(3y) \sin(y)}{\tan^2(3y)}$
$= \lim_{y \to 0} \frac{6y \sin(y)}{\tan^2(3y)}$

Gunakan sifat $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1$ dan $\lim_{y \to 0} \frac{\tan(y)}{y} = 1$. Kita perlu menyesuaikan agar sesuai dengan bentuk ini.
$= \lim_{y \to 0} \frac{6y}{1} \cdot \frac{\sin(y)}{y} \cdot \frac{y^2}{\tan^2(3y)}$
$= \lim_{y \to 0} 6 \cdot \frac{\sin(y)}{y} \cdot \frac{y^2}{\tan^2(3y)}$

Sekarang manipulasi $\frac{y^2}{\tan^2(3y)}$:
$\frac{y^2}{\tan^2(3y)} = \frac{y^2}{(\frac{\tan(3y)}{3y} \cdot 3y)^2} = \frac{y^2}{(\frac{\tan(3y)}{3y})^2 \cdot 9y^2} = \frac{1}{9 (\frac{\tan(3y)}{3y})^2}$

Jadi, limitnya menjadi:
$= \lim_{y \to 0} 6 \cdot \frac{\sin(y)}{y} \cdot \frac{1}{9 (\frac{\tan(3y)}{3y})^2}$
$= 6 \cdot 1 \cdot \frac{1}{9 \cdot 1^2}$
$= \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.