Nilai lim x->1 (x^3-(a+1)x^2+ax)/((x^2-a) tan(x-1))= ...

1 jika a ≠ 1, dan 1/2 jika a = 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan aturan L'Hôpital karena bentuknya adalah 0/0 saat x mendekati 1.

Limit yang diberikan adalah: lim x->1 (x^3 - (a+1)x^2 + ax) / ((x^2 - a) tan(x-1))

Mari kita evaluasi pembilang dan penyebut saat x = 1:

Pembilang: 1^3 - (a+1)(1)^2 + a(1) = 1 - (a+1) + a = 1 - a - 1 + a = 0

Penyebut: (1^2 - a) tan(1-1) = (1 - a) tan(0) = (1 - a) * 0 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital, yang menyatakan bahwa limit dari hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan limit dari hasil bagi turunan kedua fungsi tersebut.

Turunan pembilang terhadap x: d/dx (x^3 - (a+1)x^2 + ax) = 3x^2 - 2(a+1)x + a
Turunan penyebut terhadap x: d/dx ((x^2 - a) tan(x-1))
Kita gunakan aturan perkalian: u = x^2 - a, v = tan(x-1)
du/dx = 2x
dv/dx = sec^2(x-1)

Turunan penyebut = (du/dx)v + u(dv/dx) = (2x)tan(x-1) + (x^2 - a)sec^2(x-1)

Sekarang, kita terapkan aturan L'Hôpital:
lim x->1 [3x^2 - 2(a+1)x + a] / [2x tan(x-1) + (x^2 - a)sec^2(x-1)]

Evaluasi ulang saat x = 1:

Pembilang: 3(1)^2 - 2(a+1)(1) + a = 3 - 2a - 2 + a = 1 - a

Penyebut: 2(1)tan(1-1) + (1^2 - a)sec^2(1-1)
= 2 tan(0) + (1 - a)sec^2(0)
= 2(0) + (1 - a)(1)^2
= 0 + (1 - a)
= 1 - a

Jadi, limitnya adalah (1 - a) / (1 - a) = 1, asalkan a ≠ 1.

Jika a = 1, maka pembilang awal menjadi x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) = x(x-1)^2. Penyebutnya menjadi (x^2-1)tan(x-1) = (x-1)(x+1)tan(x-1).

Limitnya menjadi: lim x->1 [x(x-1)^2] / [(x-1)(x+1)tan(x-1)]
= lim x->1 [x(x-1)] / [(x+1)tan(x-1)]
Ini masih berbentuk 0/0. Gunakan L'Hopital lagi:

Turunan pembilang: d/dx [x(x-1)] = d/dx [x^2 - x] = 2x - 1
Turunan penyebut: d/dx [(x+1)tan(x-1)] = 1*tan(x-1) + (x+1)sec^2(x-1)

Evaluasi saat x = 1:

Pembilang: 2(1) - 1 = 1
Penyebut: tan(0) + (1+1)sec^2(0) = 0 + 2(1)^2 = 2

Jadi, jika a = 1, limitnya adalah 1/2.

Kesimpulan:
Nilai limit adalah 1 jika a ≠ 1, dan 1/2 jika a = 1.