Nilai lim x->2 akar((x^2+5)-3/(x^2-2x) adalah ....

Nilai limitnya adalah 1/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan pemfaktoran atau perkalian dengan akar sekawan jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah: lim x->2 (akar(x^2+5)-3)/(x^2-2x)

Pertama, mari kita substitusikan x=2 ke dalam persamaan:
Pembilang: akar(2^2+5) - 3 = akar(4+5) - 3 = akar(9) - 3 = 3 - 3 = 0
Penyebut: 2^2 - 2*2 = 4 - 4 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut. Kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan akar sekawan dari pembilang, yaitu akar(x^2+5)+3.

lim x->2 [(akar(x^2+5)-3)/(x^2-2x)] * [(akar(x^2+5)+3)/(akar(x^2+5)+3)]

lim x->2 [(x^2+5) - 3^2] / [(x^2-2x)(akar(x^2+5)+3)]

lim x->2 (x^2+5 - 9) / [(x^2-2x)(akar(x^2+5)+3)]

lim x->2 (x^2-4) / [(x^2-2x)(akar(x^2+5)+3)]

Sekarang, kita faktorkan pembilang (x^2-4) menjadi (x-2)(x+2) dan penyebut (x^2-2x) menjadi x(x-2).

lim x->2 [(x-2)(x+2)] / [x(x-2)(akar(x^2+5)+3)]

Kita bisa membatalkan faktor (x-2) karena x mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2.

lim x->2 (x+2) / [x(akar(x^2+5)+3)]

Sekarang, substitusikan kembali x=2:
(2+2) / [2(akar(2^2+5)+3)]
4 / [2(akar(4+5)+3)]
4 / [2(akar(9)+3)]
4 / [2(3+3)]
4 / [2(6)]
4 / 12

Sederhanakan pecahan:
1/3

Jadi, nilai limitnya adalah 1/3.