Tentukan formula untuk f(x) atau g(x) apabila

g(x) = 1/(x-2)

Pembahasan

Diberikan:
f(x) = √(x^2 + 1)
(f o g)(x) = 1/(x-2) * √(x^2 - 4x + 5)

Kita tahu bahwa (f o g)(x) = f(g(x)).
Ini berarti kita substitusikan g(x) ke dalam f(x).

f(g(x)) = √((g(x))^2 + 1)

Jadi, kita punya:
√((g(x))^2 + 1) = 1/(x-2) * √(x^2 - 4x + 5)

Perhatikan bahwa x^2 - 4x + 5 dapat ditulis ulang sebagai (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1.

Maka, persamaan menjadi:
√((g(x))^2 + 1) = 1/(x-2) * √((x-2)^2 + 1)

Kuadratkan kedua sisi persamaan:
(g(x))^2 + 1 = (1/(x-2))^2 * ((x-2)^2 + 1)
(g(x))^2 + 1 = 1/(x-2)^2 * ((x-2)^2 + 1)
(g(x))^2 + 1 = ( (x-2)^2 + 1 ) / (x-2)^2
(g(x))^2 + 1 = ( (x-2)^2 / (x-2)^2 ) + ( 1 / (x-2)^2 )
(g(x))^2 + 1 = 1 + 1/(x-2)^2

Kurangkan 1 dari kedua sisi:
(g(x))^2 = 1/(x-2)^2

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
g(x) = ±√(1/(x-2)^2)
g(x) = ± 1/(x-2)

Jadi, ada dua kemungkinan formula untuk g(x):
g(x) = 1/(x-2) atau g(x) = -1/(x-2).

Kita perlu memeriksa kedua kemungkinan ini dengan substitusi kembali ke dalam f(g(x)) untuk melihat mana yang cocok dengan (f o g)(x) yang diberikan. Namun, perlu diperhatikan bahwa domain dari f(x) adalah semua bilangan real karena x^2+1 selalu positif. Domain dari g(x) adalah x ≠ 2. Domain dari (f o g)(x) juga memerlukan x ≠ 2.

Jika g(x) = 1/(x-2):
f(g(x)) = f(1/(x-2)) = √((1/(x-2))^2 + 1)
= √(1/(x-2)^2 + 1)
= √((1 + (x-2)^2) / (x-2)^2)
= √( (x^2 - 4x + 5) / (x-2)^2 )
= (√(x^2 - 4x + 5)) / |x-2|

Ini tidak persis sama dengan 1/(x-2) * √(x^2 - 4x + 5) karena adanya nilai absolut pada penyebut. Namun, jika kita mengasumsikan x > 2, maka |x-2| = x-2, dan hasilnya cocok.

Jika g(x) = -1/(x-2):
f(g(x)) = f(-1/(x-2)) = √((-1/(x-2))^2 + 1)
= √(1/(x-2)^2 + 1)
= √((1 + (x-2)^2) / (x-2)^2)
= (√(x^2 - 4x + 5)) / |x-2|

Kedua kasus menghasilkan hasil yang sama karena pengkuadratan g(x). Namun, perhatikan bentuk (f o g)(x) yang diberikan: 1/(x-2) * √(x^2 - 4x + 5).

Agar f(g(x)) = 1/(x-2) * √(x^2 - 4x + 5), maka:
(√(x^2 - 4x + 5)) / |x-2| = 1/(x-2) * √(x^2 - 4x + 5)

Ini menyiratkan bahwa |x-2| harus sama dengan x-2. Ini hanya terjadi jika x-2 ≥ 0, atau x ≥ 2. Namun, domain g(x) adalah x ≠ 2, jadi kita harus punya x > 2.

Jika kita hanya diminta untuk menentukan formula g(x) tanpa memperhatikan domain spesifik yang menyiratkan tanda, maka kedua solusi ±1/(x-2) adalah valid secara aljabar.

Namun, jika kita harus mencocokkan bentuk (f o g)(x) secara persis, ada kemungkinan soal ini mengasumsikan x > 2, atau ada pemahaman implisit tentang bagaimana akar kuadrat dan pecahan ditangani dalam konteks komposisi fungsi.

Jika kita tidak membatasi domain dan hanya mencari bentuk aljabar:
g(x) = 1/(x-2) atau g(x) = -1/(x-2).

Namun, jika kita melihat struktur (f o g)(x) = 1/(x-2) * √(x^2 - 4x + 5), dan kita tahu f(g(x)) = √( (g(x))^2 + 1 ), maka:
√( (g(x))^2 + 1 ) = 1/(x-2) * √((x-2)^2 + 1)

Jika kita pilih g(x) = 1/(x-2), maka:
f(1/(x-2)) = √( (1/(x-2))^2 + 1 ) = √( 1/(x-2)^2 + 1 )
= √( (1 + (x-2)^2) / (x-2)^2 )
= √(x^2 - 4x + 5) / √( (x-2)^2 )
= √(x^2 - 4x + 5) / |x-2|

Agar ini sama dengan 1/(x-2) * √(x^2 - 4x + 5), maka |x-2| harus sama dengan x-2, yang berarti x ≥ 2. Namun karena g(x) tidak terdefinisi di x=2, maka haruslah x > 2.

Jika kita pilih g(x) = -1/(x-2), maka:
f(-1/(x-2)) = √( (-1/(x-2))^2 + 1 ) = √( 1/(x-2)^2 + 1 )
= √( (1 + (x-2)^2) / (x-2)^2 )
= √(x^2 - 4x + 5) / |x-2|

Ini juga menghasilkan hasil yang sama. Namun, bentuk (f o g)(x) yang diberikan secara eksplisit memiliki 1/(x-2) di depan akar. Ini menunjukkan bahwa g(x) yang dimaksud kemungkinan besar adalah 1/(x-2).