Nilai dari limit x->0 (sin 2x)/(3-akar(2x+9)) adalah ....

-6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}}$, kita akan substitusi langsung nilai x=0 ke dalam fungsi tersebut.

1. **Substitusi x = 0:**
   Pembilang: $\sin(2 \times 0) = \sin(0) = 0$.
   Penyebut: $3 - \sqrt{2 \times 0 + 9} = 3 - \sqrt{9} = 3 - 3 = 0$.

Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, ini adalah bentuk tak tentu, yang berarti kita perlu menggunakan metode lain, seperti aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Mari kita gunakan metode manipulasi aljabar dengan mengalikan sekawan dari penyebut:

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{3-\sqrt{2x+9}} \times \frac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x (3+\sqrt{2x+9})}{(3)^2 - (\sqrt{2x+9})^2}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x (3+\sqrt{2x+9})}{9 - (2x+9)}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x (3+\sqrt{2x+9})}{9 - 2x - 9}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x (3+\sqrt{2x+9})}{-2x}$

Sekarang, kita bisa memisahkan limit ini menjadi dua bagian:

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{-2x} \times \lim_{x\to 0} (3+\sqrt{2x+9})$

Kita tahu bahwa $\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$. Agar sesuai dengan bentuk ini, kita bisa memanipulasi bagian pertama:

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \times \frac{2}{-2} \times \lim_{x\to 0} (3+\sqrt{2x+9})$

$= 1 \times (-1) \times (3+\sqrt{2 \times 0 + 9})$

$= -1 \times (3+\sqrt{9})$

$= -1 \times (3+3)$

$= -1 \times 6$

$= -6$

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -6.