Kelas 11Kelas 12mathKalkulus
Nilai lim _(x -> 2) ((x^(2)-x-6) cos (x-2))/(x^(2)-4)
Pertanyaan
Nilai lim_(x -> 2) ((x^(2)-x-6) cos (x-2))/(x^(2)-4) adalah ... (A) -1 (D) 1 (B) -(1)/(2) (E) 2 (C) -(1)/(4)
Solusi
Verified
Nilai limit adalah -1 (dengan asumsi ada kesalahan ketik pada soal).
Pembahasan
Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi langsung dan aturan L'Hopital jika diperlukan. Limit yang diberikan adalah: lim (x->2) [((x^2 - x - 6) * cos(x - 2)) / (x^2 - 4)] Langkah 1: Faktorkan ekspresi kuadrat di pembilang dan penyebut. Faktorkan x^2 - x - 6: (x - 3)(x + 2) Faktorkan x^2 - 4: (x - 2)(x + 2) Substitusikan kembali ke dalam limit: lim (x->2) [((x - 3)(x + 2) * cos(x - 2)) / ((x - 2)(x + 2))] Langkah 2: Sederhanakan ekspresi dengan mencoret faktor yang sama (x + 2). lim (x->2) [((x - 3) * cos(x - 2)) / (x - 2)] Langkah 3: Lakukan substitusi langsung untuk x = 2. Pembilang: (2 - 3) * cos(2 - 2) = (-1) * cos(0) = (-1) * 1 = -1 Penyebut: 2 - 2 = 0 Karena kita mendapatkan bentuk -1/0, ini menunjukkan bahwa limit tidak terdefinisi atau menuju tak hingga. Namun, mari kita periksa kembali soal atau kemungkinan adanya kesalahan dalam asumsi. Jika kita perhatikan bentuknya, ketika x mendekati 2, cos(x-2) mendekati cos(0) = 1. Dan (x-3) mendekati -1. Jadi, pembilangnya mendekati -1. Penyebutnya (x-2) mendekati 0. Ini mengindikasikan bahwa limitnya adalah tak hingga positif atau negatif, tergantung pada arah pendekatan x ke 2. Mari kita coba gunakan aturan L'Hopital karena kita memiliki bentuk tak tentu jika kita menganggapnya sebagai 0/0 atau ∞/∞. Namun, bentuknya sekarang adalah -1/0, yang seharusnya bukan bentuk tak tentu untuk L'Hopital. Mari kita periksa kembali faktorisasi: x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) x^2 - 4 = (x-2)(x+2) Limit = lim (x->2) [(x-3)(x+2)cos(x-2)] / [(x-2)(x+2)] Kita bisa membatalkan (x+2) selama x tidak sama dengan -2, yang berlaku saat x mendekati 2. Limit = lim (x->2) [(x-3)cos(x-2)] / (x-2) Saat x mendekati 2: Pembilang -> (2-3)cos(2-2) = (-1)cos(0) = -1 * 1 = -1 Penyebut -> 2-2 = 0 Ini adalah bentuk -1/0. Mari kita pertimbangkan pendekatan dari kanan (x -> 2+) dan dari kiri (x -> 2-). Jika x -> 2+, maka (x-2) positif. Limit -> -1 / (0+) = -∞. Jika x -> 2-, maka (x-2) negatif. Limit -> -1 / (0-) = +∞. Karena limit dari kiri dan kanan tidak sama, maka limit tidak ada. Namun, pilihan jawaban yang diberikan adalah nilai numerik. Ini menunjukkan kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban yang diberikan, atau mungkin ada interpretasi lain. Mari kita coba pendekatan lain. Misalkan y = x - 2, maka x = y + 2. Ketika x -> 2, maka y -> 0. Limit menjadi: lim (y->0) [((y+2)-3)cos(y) / y] Limit = lim (y->0) [(y-1)cos(y) / y] Ini masih memberikan bentuk (-1 * 1) / 0 = -1/0. Kemungkinan ada kesalahan pengetikan pada soal. Jika soalnya adalah: lim (x->2) [((x^2 - x - 6) * (x-2)) / (x^2 - 4)] = lim (x->2) [(x-3)(x+2)(x-2)] / [(x-2)(x+2)] = lim (x->2) (x-3) = 2-3 = -1 Ini cocok dengan pilihan (A). Jika soalnya adalah: lim (x->2) [((x^2 - x - 6) / (x^2 - 4)) * sin(x-2)] = lim (x->2) [(x-3)(x+2) / ((x-2)(x+2))] * sin(x-2) = lim (x->2) [(x-3)/(x-2)] * sin(x-2) Kita tahu bahwa lim (x->0) sin(x)/x = 1. Misalkan y = x-2, maka x = y+2. = lim (y->0) [(y+2-3)/y] * sin(y) = lim (y->0) [(y-1)/y] * sin(y) = lim (y->0) (y-1) * [sin(y)/y] = (-1) * 1 = -1 Ini juga cocok dengan pilihan (A). Mengingat pilihan jawaban yang tersedia, sangat mungkin soal tersebut dimaksudkan untuk menghasilkan nilai limit yang terhingga. Mari kita asumsikan soalnya memiliki bentuk yang mengarah ke jawaban -1. Asumsi paling masuk akal berdasarkan pilihan adalah bahwa ada faktor (x-2) di pembilang yang saling meniadakan dengan (x-2) di penyebut, dan bagian lainnya menghasilkan nilai -1. Bentuk cos(x-2) saat x=2 menjadi cos(0)=1, sehingga tidak membantu meniadakan penyebut (x-2). Jika kita mengabaikan cos(x-2) dan hanya melihat (x^2-x-6)/(x^2-4), kita dapatkan: lim (x->2) [(x-3)(x+2)] / [(x-2)(x+2)] = lim (x->2) (x-3)/(x-2) Ini menghasilkan -1/0. Mari kita coba gunakan aturan L'Hopital pada bentuk awal dengan hati-hati: lim (x->2) [((x^2 - x - 6) * cos(x - 2)) / (x^2 - 4)] Ini adalah bentuk -1/0, bukan 0/0 atau ∞/∞. Jadi aturan L'Hopital tidak dapat langsung diterapkan pada keseluruhan fungsi. Namun, kita dapat memisahkan limitnya: lim (x->2) [(x^2 - x - 6) / (x^2 - 4)] * lim (x->2) [cos(x - 2)] = lim (x->2) [(x-3)(x+2) / ((x-2)(x+2))] * cos(0) = lim (x->2) [(x-3) / (x-2)] * 1 = lim (x->2) (x-3) / (x-2) Ini tetap menghasilkan -1/0. Ada kemungkinan besar bahwa soal tersebut salah ketik. Jika kita mengasumsikan bahwa soalnya seharusnya menghasilkan salah satu jawaban yang diberikan, dan melihat struktur soal kalkulus limit, seringkali melibatkan faktorisasi atau aturan L'Hopital untuk bentuk 0/0. Jika kita berasumsi bahwa soalnya memiliki kesalahan dan seharusnya cos(x-2) digantikan dengan sesuatu yang lain atau ada faktor tambahan, misalnya (x-2) di pembilang. Misalnya jika soalnya adalah: lim (x->2) [((x^2 - x - 6) * (x-2)) / (x^2 - 4)] = lim (x->2) [(x-3)(x+2)(x-2)] / [(x-2)(x+2)] = lim (x->2) (x-3) = 2-3 = -1. (Pilihan A) Atau jika soalnya adalah: lim (x->2) [((x^2 - x - 6) / (x^2 - 4)) * (x-2)] = lim (x->2) [(x-3)(x+2) / ((x-2)(x+2))] * (x-2) = lim (x->2) [(x-3)/(x-2)] * (x-2) = lim (x->2) (x-3) = 2-3 = -1. (Pilihan A) Mengikuti pilihan jawaban yang diberikan, jawaban yang paling mungkin dimaksudkan adalah -1. Ini mengimplikasikan bahwa ada faktor (x-2) di pembilang yang dibatalkan oleh penyebut, atau ada bentuk yang mendekati -1. Dengan bentuk soal yang diberikan: lim (x->2) ((x^2 - x - 6) cos (x-2))/(x^2 - 4) Kita faktorkan: lim (x->2) ((x-3)(x+2) cos(x-2))/((x-2)(x+2)) Sederhanakan: lim (x->2) ((x-3) cos(x-2))/(x-2) Saat x mendekati 2, (x-3) mendekati -1, dan cos(x-2) mendekati cos(0)=1. Jadi pembilang mendekati -1. Penyebut (x-2) mendekati 0. Jika kita menggunakan aturan L'Hopital pada bentuk [(x-3)cos(x-2)] / (x-2) (yang sekarang berbentuk -1/0): Turunan pembilang: d/dx [(x-3)cos(x-2)] = 1*cos(x-2) + (x-3)*(-sin(x-2)) = cos(x-2) - (x-3)sin(x-2) Turunan penyebut: d/dx [x-2] = 1 Jadi, limit turunannya adalah lim (x->2) [cos(x-2) - (x-3)sin(x-2)] / 1 Substitusi x=2: cos(0) - (2-3)sin(0) = 1 - (-1)*0 = 1 - 0 = 1. Ini bertentangan dengan hasil sebelumnya. Mari kita periksa kembali aplikasi aturan L'Hopital. Aturan L'Hopital hanya berlaku untuk bentuk 0/0 atau ∞/∞. Karena kita mendapatkan -1/0, aturan L'Hopital tidak dapat langsung diterapkan pada bentuk akhir ini. Namun, jika kita perhatikan bagian awal soal, yaitu (x^2 - x - 6)/(x^2 - 4), limitnya saat x->2 adalah -1/0. Bagian cos(x-2) saat x->2 adalah 1. Jadi keseluruhan limitnya adalah bentuk (-1/0) * 1, yang tidak terdefinisi atau tak hingga. Jika kita harus memilih dari opsi yang diberikan, dan mengingat bahwa soal seperti ini biasanya dirancang agar memiliki solusi yang terdefinisi, maka ada kemungkinan besar soal tersebut salah ketik. Jika kita mengasumsikan bahwa soal tersebut seharusnya menghasilkan -1 (pilihan A), maka bentuk soalnya harus berbeda. Mari kita coba satu kemungkinan lain: apa jika soalnya menggunakan limit x->-2? lim (x->-2) [((x^2 - x - 6) cos (x-2))/(x^2 - 4)] = lim (x->-2) [((x-3)(x+2) cos(x-2))/((x-2)(x+2))] = lim (x->-2) [(x-3) cos(x-2)]/(x-2) Substitusi x = -2: Pembilang: (-2-3) cos(-2-2) = (-5) cos(-4) = -5 cos(4) Penyebut: -2 - 2 = -4 Limit = (-5 cos(4)) / (-4) = (5/4) cos(4). Ini bukan salah satu opsi. Mengingat pilihan jawaban yang tersedia dan struktur soal, jawaban yang paling masuk akal jika soalnya dirancang dengan benar adalah -1. Ini terjadi jika ada pembatalan faktor (x-2) dari pembilang dan penyebut, atau jika limit dari bagian lain adalah -1. Contoh soal yang menghasilkan -1: lim (x->2) [((x^2 - x - 6) * (x-2)) / (x^2 - 4)] = -1 Namun, berdasarkan soal yang tertulis persis seperti itu, limitnya tidak terdefinisi. Karena saya harus memberikan jawaban berdasarkan soal yang ada dan pilihan yang ada, dan ada kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan ketik yang mengarah ke jawaban numerik, saya akan menyimpulkan bahwa jawaban yang dimaksud adalah -1, dengan asumsi ada faktor (x-2) tambahan di pembilang yang dibatalkan oleh penyebut. Jika kita mengabaikan cos(x-2) dan fokus pada bagian rasional: lim (x->2) (x^2 - x - 6)/(x^2 - 4) = lim (x->2) (x-3)(x+2) / (x-2)(x+2) = lim (x->2) (x-3)/(x-2) Ini menghasilkan -1/0. Namun, jika kita perhatikan bahwa lim (x->c) sin(a(x-c))/(b(x-c)) = a/b dan lim (x->c) (x-c)/(x-c) = 1. Mari kita coba lihat apakah cos(x-2) bisa berperan seperti sin(x-2)/(x-2) yang limitnya 1. Tapi itu tidak benar. Jika soalnya adalah: lim (x->2) ((x^2 - x - 6) / (x-2)) * (cos(x-2)/(x+2)) = lim (x->2) ((x-3)(x+2) / (x-2)) * (cos(x-2)/(x+2)) Ini tetap memiliki (x-2) di penyebut tanpa pembatalan. Dengan sangat berat hati, saya harus menyatakan bahwa berdasarkan soal yang diberikan, limitnya tidak terdefinisi. Namun, jika dipaksa memilih dari opsi yang ada, dan mengasumsikan kesalahan ketik yang umum dalam soal limit, maka -1 adalah jawaban yang paling mungkin dimaksudkan.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Fungsi Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?