Nilai lim x->(pi/4) (cos 2x)/(1-tan x)=...

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan substitusi langsung atau metode L'Hopital karena substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Metode Substitusi:
lim x->(pi/4) (cos 2x)/(1-tan x)
Substitusi x = pi/4:
cos(2 * pi/4) = cos(pi/2) = 0
1 - tan(pi/4) = 1 - 1 = 0
Hasilnya adalah 0/0, sehingga kita perlu metode lain.

Metode L'Hopital:
Kita turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan pembilang (cos 2x) adalah -2 sin 2x.
Turunan penyebut (1 - tan x) adalah -sec^2 x.

Sekarang kita hitung limitnya:
lim x->(pi/4) (-2 sin 2x) / (-sec^2 x)
Substitusi x = pi/4:
-2 sin(2 * pi/4) = -2 sin(pi/2) = -2 * 1 = -2
-sec^2(pi/4) = -(sqrt(2))^2 = -2

Jadi, limitnya adalah (-2) / (-2) = 1.

Cara lain menggunakan identitas trigonometri:
cos 2x = (1 - tan^2 x) / (1 + tan^2 x)
lim x->(pi/4) [((1 - tan^2 x) / (1 + tan^2 x))] / (1 - tan x)
lim x->(pi/4) [(1 - tan x)(1 + tan x) / (1 + tan^2 x)] / (1 - tan x)
lim x->(pi/4) (1 + tan x) / (1 + tan^2 x)
Substitusi x = pi/4:
(1 + tan(pi/4)) / (1 + tan^2(pi/4))
(1 + 1) / (1 + 1^2)
2 / (1 + 1)
2 / 2 = 1

Jadi, nilai lim x->(pi/4) (cos 2x)/(1-tan x) = 1.