Nilai dari limit x->0 (sin a/b x)/(tan cx) adalah ....

a/(bc)

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari limit \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{b x}\) dengan \(\tan cx\) di penyebut, kita perlu menggunakan identitas limit trigonometri dasar:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1\)
dan \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan kx}{kx} = 1\).

Kita dapat menulis ulang ekspresi tersebut:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{b x \tan cx)}\)

Untuk memudahkan, kita manipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk identitas limit:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{b x \tan cx)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} \cdot \frac{ax}{b x \tan cx)}\)

Kemudian kita pisahkan \(\tan cx\):
\(= \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} \cdot \frac{ax}{b x} \cdot \frac{1}{\frac{\tan cx}{cx} \cdot cx)}\)

Kita tahu bahwa \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1\) dan \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan cx}{cx} = 1\).

Maka ekspresi menjadi:
\(= 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{ax}{b x} \cdot \frac{1}{1 \cdot cx)}\)

Sederhanakan \(x\) di pembilang dan penyebut:
\(= \lim_{x \to 0} \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c}\)

Karena \(x\) sudah habis, nilai limitnya adalah konstanta:
\(= \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{bc}\)

Namun, jika pertanyaannya adalah \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{b x} \div \tan cx\), maka penyebutnya adalah \(b x \tan cx\). Jika maksud soal adalah \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{b x \tan cx}\), maka jawabannya adalah \(\frac{a}{bc}\). 

Jika yang dimaksud soal adalah \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{(b x) \tan (cx)}\), maka jawabannya adalah \(\frac{a}{bc}\). Mari kita asumsikan maksudnya seperti itu. 

Jawaban: \(\frac{a}{bc}\)