Nilai lim x-> tak hingga (tan (1/2x)/sin(3/4x)) adalah

2/3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari $\\$ \\lim_{x \to \infty} \frac{\tan (1/2x)}{\sin (3/4x)}$, kita dapat menggunakan beberapa pendekatan. Ketika $x \to \infty$, maka $1/2x \to 0$ dan $3/4x \to 0$. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan sifat bahwa untuk nilai $\\theta$ yang mendekati 0, $\\$ tan($\\theta$) $\\approx \\theta$ dan sin($\\theta$) $\\approx \\theta$.

Menggunakan pendekatan ini:
Untuk pembilang: $\\$ tan(1/2x) $\\$ \\approx 1/2x$ saat $x \to \infty$.
Untuk penyebut: $\\$ sin(3/4x) $\\$ \\approx 3/4x$ saat $x \to \infty$.

Maka, limitnya menjadi:
$\\$ \\lim_{x \to \infty} \frac{1/2x}{3/4x}$

Kita dapat membatalkan $x$ dari pembilang dan penyebut:
$\\$ \\lim_{x \to \infty} \frac{1/2}{3/4}$

Untuk membagi pecahan, kita kalikan dengan kebalikannya:
$\\$ \\frac{1}{2} \\times \\frac{4}{3} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}$

Alternatif lain adalah menggunakan aturan L'Hopital, karena ketika $x \to \infty$, kita mendapatkan bentuk tak tentu $0/0$. Namun, perlu diingat bahwa aturan L'Hopital berlaku untuk bentuk tak tentu $0/0$ atau $\\$ \\infty/\\infty$. Di sini, saat $x \to \infty$, $1/2x \to 0$ dan $3/4x \to 0$, sehingga $\\$ tan(1/2x) $\\$ \\to$ tan(0) = 0 dan $\\$ sin(3/4x) $\\$ \\to$ sin(0) = 0. Jadi, kita memiliki bentuk $0/0$ yang memungkinkan penggunaan aturan L'Hopital.

Turunan dari $\\$ tan(u) adalah $\\$ sec^2(u) * du/dx.
Turunan dari $\\$ sin(u) adalah $\\$ cos(u) * du/dx.

Misalkan $f(x) = \\tan(1/2x)$ dan $g(x) = \\sin(3/4x)$.
$f'(x) = \\sec^2(1/2x) * (-1/2) = -1/2 \\sec^2(1/2x)$
$g'(x) = \\cos(3/4x) * (3/4) = 3/4 \\cos(3/4x)$

Menerapkan aturan L'Hopital:
$\\$ \\lim_{x \to \infty} \frac{-1/2 \\sec^2(1/2x)}{3/4 \\cos(3/4x)}$

Saat $x \to \infty$, $1/2x \to 0$ dan $3/4x \to 0$.
$\\$ sec(0) = 1, jadi $\\$ sec^2(0) = 1$.
$\\$ cos(0) = 1.

Maka, limitnya menjadi:
$\\$ \\frac{-1/2 * 1}{3/4 * 1} = \\frac{-1/2}{3/4} = \\frac{-1}{2} \\times \\frac{4}{3} = -4/6 = -2/3$

Tunggu, ada kesalahan dalam penerapan aturan L'Hopital atau pemahaman soal.

Mari kita periksa kembali pendugaan $\\$ tan($\\theta$) $\\$ \\approx \\theta$ dan $\\$ sin($\\theta$) $\\$ \\approx \\theta$ untuk $\\$ \\theta \\to 0$. Ini adalah pendekatan yang valid.

$\\$ \\lim_{x \to \infty} \frac{\tan (1/2x)}{\sin (3/4x)}$

Gunakan substitusi $y = 1/x$. Ketika $x \to \infty$, maka $y \to 0$.
$\\$ \\lim_{y \to 0} \frac{\tan (y/2)}{\sin (3y/4)}$

Sekarang kita gunakan $\\$ tan($\\alpha$) $\\$ \\approx $\\$ \\alpha$ dan $\\$ sin($\\beta$) $\\$ \\approx $\\$ \\beta$ untuk $\\$ \\alpha, \\beta \\to 0$.
$\\$ \\lim_{y \to 0} \frac{y/2}{3y/4}$

$\\$ \\lim_{y \to 0} \frac{y}{2} \times \frac{4}{3y}$

$\\$ \\lim_{y \to 0} \frac{4y}{6y}$

$\\$ \\lim_{y \to 0} \frac{4}{6} = \\frac{2}{3}$

Mari kita cek aturan L'Hopital lagi dengan benar.
$f(x) = \\tan(1/2x)$, $f'(x) = \\sec^2(1/2x) * (-1/2)$
$g(x) = \\sin(3/4x)$, $g'(x) = \\cos(3/4x) * (3/4)$

$\\$ \\lim_{x \to \infty} \frac{-1/2 \\sec^2(1/2x)}{3/4 \\cos(3/4x)}$

Saat $x \to \infty$, $1/2x \to 0$, $3/4x \to 0$.
$\\$ sec(0) = 1, $\\$ cos(0) = 1$.
$\\$ \\lim = \\frac{-1/2 * 1^2}{3/4 * 1} = \\frac{-1/2}{3/4} = -2/3$. 

Ada perbedaan hasil. Mari kita identifikasi kesalahan.
Kesalahan ada pada penerapan $\\$ tan($\\theta$) $\\$ \\approx $\\$ \\theta$ dan $\\$ sin($\\theta$) $\\$ \\approx $\\$ \\theta$. Pendekatan ini benar, namun ketika ada konstanta di depan x di dalam argumen fungsi trigonometri, kita harus hati-hati.

Ingat bahwa $\\$ \\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$ dan $\\$ \\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Kita bisa memanipulasi ekspresi:
$\\$ \\frac{\tan (1/2x)}{\sin (3/4x)} = \\frac{\tan (1/2x)}{1/2x} \times \frac{1/2x}{3/4x} \times \frac{3/4x}{\sin (3/4x)}$

Ketika $x \to \infty$, $1/2x \to 0$ dan $3/4x \to 0$. Misalkan $u = 1/2x$ dan $v = 3/4x$.
$\\$ \\lim_{x \to \infty} \frac{\tan (1/2x)}{1/2x} = 1$
$\\$ \\lim_{x \to \infty} \frac{3/4x}{\sin (3/4x)} = 1$

Dan suku tengahnya:
$\\$ \\lim_{x \to \infty} \frac{1/2x}{3/4x} = \\lim_{x \to \infty} \frac{1/2}{3/4} = \\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}$

Jadi, hasil limitnya adalah:
$1 \times \frac{2}{3} \times 1 = \\frac{2}{3}$

Nilai lim x-> tak hingga (tan (1/2x)/sin(3/4x)) adalah 2/3.