Nilai limit theta -> 0 (1-cos theta)/theta^2 sama dengan

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Berikut adalah penyelesaian untuk soal #5:

Kita akan menghitung nilai limit:
lim (1 - cos θ) / θ^2
θ→0

Jika kita substitusikan θ=0, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital atau identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu bahwa 1 - cos θ = 2 sin^2(θ/2).
Jadi, limitnya menjadi:
lim (2 sin^2(θ/2)) / θ^2
θ→0

Kita bisa menulis ulang sebagai:
lim 2 * [sin(θ/2) / θ]^2
θ→0

Untuk menggunakan limit standar lim (sin x)/x = 1 saat x→0, kita perlu menyesuaikan penyebutnya.
lim 2 * [sin(θ/2) / (2 * (θ/2))]^2 * (2)^2
θ→0

= lim 2 * [2 * sin(θ/2) / θ]^2
θ→0

Ini masih belum tepat. Mari kita coba cara lain:
lim 2 * [sin(θ/2) / θ]^2
θ→0

Ubah menjadi:
lim 2 * (sin(θ/2))^2 / θ^2
θ→0

Kita tahu bahwa lim (sin x)/x = 1. Jika kita punya (sin(θ/2))/(θ/2), maka nilai limitnya adalah 1.
Jadi, kita bisa manipulasi ekspresinya:
lim 2 * [sin(θ/2) / (θ/2)]^2 * (1/2)^2
θ→0

= lim 2 * (1)^2 * (1/4)
θ→0

= 2 * 1 * (1/4)
= 2/4
= 1/2

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hôpital
Karena substitusi langsung menghasilkan 0/0, kita bisa turunkan pembilang dan penyebutnya:
Turunan dari (1 - cos θ) adalah sin θ.
Turunan dari θ^2 adalah 2θ.
Jadi, limitnya menjadi:
lim sin θ / 2θ
θ→0

Jika kita substitusikan θ=0 lagi, kita masih mendapatkan 0/0. Maka, kita terapkan L'Hôpital lagi:
Turunan dari sin θ adalah cos θ.
Turunan dari 2θ adalah 2.
Jadi, limitnya menjadi:
lim cos θ / 2
θ→0

Sekarang substitusikan θ=0:
cos(0) / 2 = 1 / 2.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.
Jadi, nilai limit θ→0 (1 - cos θ) / θ^2 adalah 1/2.