Nilai limit x->0 (1-cos x)/(5x^2)= ....

Nilai limitnya adalah 1/10.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit \(\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{5x^2}\), kita bisa menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu bahwa \(1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)\).
Maka, limitnya menjadi:
\(\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(x/2)}{5x^2}\)
Kita bisa memanipulasi ekspresi ini agar mendekati bentuk \(\frac{\sin \theta}{\theta} \to 1\) saat \(\theta \to 0\).

\(\lim_{x \to 0} \frac{2}{5} \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{x^2}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{x}\right)^2\)
Agar sesuai dengan bentuk \(\frac{\sin \theta}{\theta}\), kita perlu \(\theta = x/2\). Jadi, kita kalikan dan bagi dengan \((x/2)\) atau kita ubah \(x\) menjadi \(2(x/2)\).

\(\lim_{x \to 0} \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{2(x/2)}\right)^2\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2\)
Karena \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\) (dengan \(\theta = x/2\)), maka:

\(\frac{2}{5} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 1\right)^2\)
\(\frac{2}{5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}\)
\(\frac{2}{20}\) = \(\frac{1}{10}\)

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hôpital
Karena substitusi langsung x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan Aturan L'Hôpital.
Turunan dari pembilang (1 - cos x) adalah sin x.
Turunan dari penyebut (5x^2) adalah 10x.

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{10x}\)
Ini masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Terapkan L'Hôpital lagi.

Turunan dari pembilang (sin x) adalah cos x.
Turunan dari penyebut (10x) adalah 10.

\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{10}\)
Sekarang substitusikan x = 0:

\(\frac{\cos 0}{10}\)
\(\frac{1}{10}\)