Nilai limit x->0 (1-cos2x)/(1-cos4x)=....

Nilai limitnya adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit \( \lim_{x\to0} \frac{1-\cos(2x)}{1-\cos(4x)} \), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan. 

Metode 1: Menggunakan identitas trigonometri \( 1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta) \).
Kita dapat menulis ulang pembilang dan penyebut:
Pembilang: \( 1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x) \).
Penyebut: \( 1 - \cos(4x) = 2\sin^2(2x) \).

Maka, ekspresi menjadi: \( \frac{2\sin^2(x)}{2\sin^2(2x)} = \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(2x)} \).

Kita tahu bahwa \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). Jadi, \( \sin^2(2x) = (2\sin(x)\cos(x))^2 = 4\sin^2(x)\cos^2(x) \).

Substitusikan kembali ke dalam ekspresi:
\( \frac{\sin^2(x)}{4\sin^2(x)\cos^2(x)} \).

Kita dapat membatalkan \( \sin^2(x) \) (karena \( x \to 0 \), \( \sin(x) \neq 0 \)):
\( \frac{1}{4\cos^2(x)} \).

Sekarang, substitusikan \( x = 0 \):
\( \frac{1}{4\cos^2(0)} = \frac{1}{4(1)^2} = \frac{1}{4} \).

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital.
Karena substitusi \( x = 0 \) menghasilkan bentuk \( \frac{1-\cos(0)}{1-\cos(0)} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0} \), kita dapat menggunakan Aturan L'Hopital.

Turunkan pembilang: \( \frac{d}{dx}(1-\cos(2x)) = -(-\sin(2x)) \cdot 2 = 2\sin(2x) \).
Turunkan penyebut: \( \frac{d}{dx}(1-\cos(4x)) = -(-\sin(4x)) \cdot 4 = 4\sin(4x) \).

Maka, limitnya menjadi: \( \lim_{x\to0} \frac{2\sin(2x)}{4\sin(4x)} = \lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2\sin(4x)} \).

Kita masih mendapatkan bentuk \( \frac{0}{0} \), jadi kita terapkan L'Hopital lagi.

Turunkan pembilang: \( \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \).
Turunkan penyebut: \( \frac{d}{dx}(2\sin(4x)) = 2(\cos(4x) \cdot 4) = 8\cos(4x) \).

Maka, limitnya menjadi: \( \lim_{x\to0} \frac{2\cos(2x)}{8\cos(4x)} \).

Sekarang, substitusikan \( x = 0 \):
\( \frac{2\cos(0)}{8\cos(0)} = \frac{2(1)}{8(1)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \).

Kedua metode menghasilkan nilai yang sama.