Nilai limit x->0 2sin^2 (x/2)/x sin x= ....

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit \(\lim_{x\to 0} \frac{2\sin^2 (x/2)}{x \sin x}\), kita dapat menggunakan beberapa identitas limit dan sifat-sifat limit.

Salah satu identitas limit yang paling penting di sini adalah \(\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1\).

Kita bisa memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini:
\[\lim_{x\to 0} \frac{2\sin^2 (x/2)}{x \sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{2 \left(\sin(x/2)\right) \left(\sin(x/2)\right)}{x \sin x}\]

Sekarang, mari kita coba membuat bentuk \(\frac{\sin y}{y}\).

Kita punya \(\sin(x/2)\). Agar sesuai dengan \(\frac{\sin y}{y}\), kita memerlukan \(x/2\) di penyebutnya.
Kita juga punya \(\sin x\) di penyebut. Agar sesuai dengan \(\frac{\sin y}{y}\), kita memerlukan \(x\) di pembilangnya.

Mari kita susun ulang ekspresinya:
\[\lim_{x\to 0} 2 \cdot \frac{\sin(x/2)}{x/2} \cdot \frac{x/2}{\sin x} \cdot \frac{\sin(x/2)}{1}\]

Ini masih belum benar. Mari kita coba cara yang berbeda.
Kita akan mengalikan dan membagi dengan suku yang sesuai untuk mendapatkan bentuk \(\frac{\sin y}{y}\).

\[\lim_{x\to 0} \frac{2\sin^2 (x/2)}{x \sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{2 \left(\sin(x/2)\right) \left(\sin(x/2)\right)}{x \cdot (2 \sin(x/2) \cos(x/2))}\]

Kita bisa membatalkan \(\sin(x/2)\) satu kali:
\[\lim_{x\to 0} \frac{2 \sin(x/2)}{x \cdot 2 \cos(x/2)}\]

Sekarang kita punya:
\[\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x/2)}{x \cos(x/2)}\]

Untuk \(\sin(x/2)\), kita perlu \(x/2\) di penyebut. Mari kita kalikan dan bagi dengan \(x/2\):
\[\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x/2)}{x/2} \cdot \frac{x/2}{x \cos(x/2)}\]

Sekarang kita bisa gunakan fakta bahwa \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x/2)}{x/2} = 1\).

Untuk suku kedua:
\[\frac{x/2}{x \cos(x/2)} = \frac{1/2}{\cos(x/2)}\]

Sekarang kita evaluasi limitnya:
\[1 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1/2}{\cos(x/2)}\]

Saat \(x \to 0\), \(x/2 \to 0\), dan \(\cos(0) = 1\).

Jadi, limitnya adalah:
\[1 \cdot \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\]

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.